3. Геометрическая интерпретация оптимальных оценок

Рассмотрим следующую задачу линейного программирования:

Z = , (2.4)

. (2.5)

Пусть — ее оптимальный план. Обозначим I — множество индексов активных (жестких) ограничений, т.е. ограничений, которые выполняются на плане как равенства:

.

Так как задача (2.4) – (2.5) не содержит условий неотрицательности переменных, то двойственная ей задача имеет такой вид:

→ min, (2.6)

, (2.7)

. (2.8)

Условие (2.7) можно записать в таком виде:

(2.9)

Обозначим — оптимальный план двойственной задачи. По теореме о дополняющей нежесткости в векторе отличны от нуля лишь компоненты, соответствующие активным ограничениям. Поэтому условие (2.9) приобретает такой вид:

(2.10)

Соотношение (2.10) с геометрической точки зрения означает, что градиент целевой функции представим в виде линейной комбинации градиентов активных ограничений с неотрицательными коэффициентами.

Таким образом, вектор оценок допускает следующую интерпретацию: его положительные компоненты являются коэффициентами разложения градиента целевой функции по векторам градиентов активных ограничений { } оптимального плана .

4. Решение двойственной задачи с помощью теории двойственности

С помощью соотношений дополняющей нежесткости можно, зная оптимальное решение одной из задач, получить важную информацию об оптимальном решении двойственной ей задачи. Это дает возможность свести нахождение оптимального решения задачи линейного программирования к решению системы линейных уравнений.

Пример 2.1. Найдем решение двойственной задачи к задаче фирмы, построенной в примере 1.1.

90u₁ + 80u₂ + 140u₃ min,

x₁ ↔ u₁ + 4u₂ + 2u₃ ≥ 9,

x₂ ↔ 4u₁ + 2u₂ + 4u₃ ≥ 8,

u₁ ≥ 0, u₂ ≥ 0, u₃ ≥ 0.

Напомним, что прямая задача выглядит так:

9х₁ + 8х₂  max,

u₁ ↔ х₁ + 4х₂ ≤ 90,

u₂ ↔ 4х₁ + 2х₂ ≤ 80,

u₃ ↔ 2х₁ + 4х₂ ≤ 140,

х₁ ≥ 0, х₂ ≥ 0.

Ранее (см. §3 главы 1) было найдено решение прямой задачи: и . Поэтому по первой теореме двойственности двойственная задача также имеет оптимальное решение. Для его нахождения целесообразно использовать соотношения дополняющей нежесткости.

Подставим оптимальные значения переменных прямой задачи в левые части ее ограничений:

,

,

.

Таким образом, первые два ограничения выполняются как равенства, а третье ограничение — как строгое неравенство (100 < 140). Следовательно, (см. пункт 4 следствия 2.1) оптимальное значение двойственной переменной, соответствующей этому неравенству, должно быть нулевым, т.е.

Поскольку оптимальные значения переменных прямой задачи положительны, то (см. пункт 1 следствия 2.1) оба соотношения двойственной задачи выполняются как равенства, т.е.

.

Так как , то для нахождения оптимальных значений оставшихся переменных двойственной задачи достаточно решить систему уравнений:

Ее решение таково:  = 1 и  = 2. Следовательно, оптимальным решением двойственной задачи будет вектор u^* = (1, 2, 0).

Для проверки полученного результата достаточно сравнить оптимальные значения целевых функций в прямой и двойственной задаче:

1. — значение целевой функции в прямой задаче;

2. — значение целевой функции в двойственной задаче.

Поскольку эти значения совпадают, по критерию оптимальности Канторовича вектор u^* действительно является решением двойственной задачи.

Анализ полученного решения показывает, что дефицитными ресурсами являются сырье и оборудование, так как оба эти ресурса имеют положительную оценку. Так как оценка оборудования выше, чем оценка сырья, то оборудование — наиболее дефицитный ресурс. Труд является недефицитным ресурсом, поскольку не полностью используется в производстве. Он имеет нулевую оценку. В оптимальный план выпуска вошли оба вида продукции. Их выпуск имеет нулевую рентабельность, если затраты ресурсов оценивать в найденных оптимальных оценках.