2. Основные теоремы двойственности

Основные результаты теории двойственности формулируются в виде теорем, получивших название теорем двойственности. В теореме 2.2 были сформулированы простые условия разрешимости пары двойственных задач. Оказывается, что существование оптимального решения в одной из задач также является достаточным условием разрешимости двойственной ей задачи, причем оптимальные значения обеих задач всегда совпадают. Если же одна из задач имеет допустимое решение, но не имеет оптимального решения, то значение ее целевой функции не может быть ограничено каким-либо числом. Это возможно лишь в том случае, когда двойственная ей задача вообще не имеет допустимых решений.

Эти связи между прямой и двойственной задачами составляют содержание теоремы, которую называют первой или основной теоремой двойственности.

Теорема 2.3 (первая теорема двойственности). Если одна из пары двойственных задач имеет оптимальное решение, то и другая задача имеет оптимальное решение, причем оптимальные значения целевых функций обеих задач совпадают.

Если же целевая функция одной из пары задач не ограничена (в прямой задаче – сверху, а в двойственной – снизу), то другая задача вообще не имеет допустимых решений.

Эта теорема допускает следующую экономическую интерпретацию. Если задача определения оптимального плана выпуска продукции имеет решение, то в этом случае можно, решив двойственную задачу, найти оптимальные (выгодные для обеих сторон) цены на ресурсы фирмы. Сумма, которую владелец фирмы получит, продав продукцию, произведенную в соответствии с найденным оптимальным планом, в точности равна сумме, которую готов заплатить покупатель за ресурсы. Таким образом, продав свои ресурсы, владелец фирмы не получит дополнительной прибыли; однако убытков ему эта сделка также не принесет.

Первая теорема двойственности утверждает, что двойственные задачи одновременно либо имеют, либо не имеют оптимальные решения. В том случае, когда обе двойственные задачи разрешимы, связи между их решениями устанавливает

Теорема 2.4 (вторая теорема двойственности). Допустимые решения и оптимальны в своих задачах тогда и только тогда, когда выполнены следующие соотношения:

(2.2)

; (2.3)

где — разность между левой и правой частью j-го неравенства в двойственной задаче, соответствующего переменной x_j; а — разность между правой и левой частью i-го неравенства в прямой задаче, соответствующего двойственной переменной u_i.

Из равенств (2.2) – (2.3) следует, что если какое-то ограничение в одной из задач является строгим неравенством (нежесткое ограничение), то условие неотрицательности его двойственной переменной будет обязательно равенством (жесткое ограничение) и наоборот (см. следствие 2.1), т.е. эти условия по типу всегда взаимно дополняют друг друга. Поэтому их называют соотношениями дополняющей нежесткости, а саму теорему 2.4 часто называют теоремой о дополняющей нежесткости.

Следствие 2.1. Пусть и оптимальные решения в прямой и двойственной задачах. Тогда

1. если , то , т.е. если какая-то компонента оптимального плана положительна, то соответствующее ей соотношение двойственной задачи выполняется как равенство;

2. если , то , т.е. если какое-либо соотношение двойственной задачи выполняется как строгое неравенство, то соответствующая ему компонента прямой задачи имеет нулевое значение.

3. если , то , т.е. если какая-то компонента оптимального решения двойственной задачи положительна, то соответствующее ей соотношение прямой задачи выполняется как равенство;

4. если , то , т.е. если какое-либо соотношение прямой задачи выполняется как строгое неравенство, то соответствующая ему компонента двойственной задачи имеет нулевое значение.

Дадим экономическую интерпретацию соотношений дополняющей нежесткости для общей задачи фирмы.

1. Величина интерпретируется как разность между затратами (суммарной стоимостью в оптимальных оценках ресурсов, необходимых для выпуска единицы изделия j-го вида) и доходом, получаемым при ее продаже. Таким образом, дополнительная двойственная переменная характеризует убыточность выпуска соответствующего вида продукции.

Рассмотрим первое соотношение следствия 2.1:

если , то .

Это означает, что если выпуск изделия вошел в оптимальный план, то затраты по его выпуску равны получаемому доходу. Другими словами, все изделия, вошедшие в оптимальный план, неубыточные (имеют нулевую рентабельность).

Рассмотрим второе соотношение:

если , то .

Оно интерпретируется так: если выпуск изделия убыточен (затраты больше дохода), то оно не войдет в оптимальный план, т.е. не будет выпускаться.

2. Величина интерпретируется как остаток (излишек) ресурса i-го вида при выпуске фирмой продукции в объемах, определяемых оптимальным планом. Поэтому третье соотношение:

если , то

интерпретируется так: если оптимальная оценка ресурса положительна, то он при выпуске оптимального плана используется полностью.

Соответственно, соотношение:

если , то

допускает такую интерпретацию: если ресурс при выпуске оптимального плана используется не полностью, то его оптимальная оценка равна нулю.

В предыдущей главе полностью используемый в процессе производства ресурс был назван дефицитным, а недоиспользуемый — недефицитным. Таким образом, теорема о дополняющей нежесткости устанавливает, что

• положительную оптимальную оценку получают только дефицитные виды ресурсов, а недефицитные ресурсы имеют нулевую оценку;

• в оптимальный план выпуска войдут только рентабельные виды продукции (с нулевой рентабельностью).