3. Случай задачи в канонической форме

Рассмотрим случай, когда прямая задача представлена в канонической форме, т.е. ее общие ограничения являются равенствами.

Z = (1.7)

(1.8)

. (1.9)

Правила построения двойственной задачи в этом случае несколько отличаются от приведенных выше: в них нет условия неотрицательности двойственных переменных (правило 7), а правило 6 заменяется следующим условием:

6') ограничения в двойственной задаче являются неравенствами типа ≥.

Двойственная задача к задаче (1.7) – (1.9) выглядит так:

W = ,

Матричная форма записи прямой и двойственной задачи для задачи в канонической форме имеет такой вид:

Прямая задача	Двойственная задача
Z = (c, x) → max,	W = (b, u) → min,
Ax = b,	ATu ≥ c.
x ≥ 0.

Пример 1.2. Рассмотрим задачу в канонической форме:

Z = 20х₁ + 18х₂ + 24х₃  max,

u₁ ↔ 5х₁ + 4х₂ + 4х₃ = 120,

u₂ ↔ 8х₁ – 5х₂ + 6х₃ = 100,

х₁ ≥ 0, х₂ ≥ 0, х₃ ≥ 0.

Двойственной к ней будет следующая задача:

W = 120u₁ + 100u₂  min,

x₁ ↔ 5u₁ + 8u₂ ≥ 20,

x₂ ↔ 4u₁ – 5u₂ ≥ 18,

x₃ ↔ 4u₁ + 6u₂ ≥ 24.

4. Случай задачи в общей форме

Если часть ограничений прямой задачи являются равенствами и некоторые ее переменные могут принимать любые значения, то при создании двойственной задачи вместо сформулированных выше правил 6 – 7 для задачи в стандартной форме должны использоваться такие правила:

6') если переменная прямой задачи x_j ≥ 0, то j-е ограничение двойственной задачи является неравенством; если же переменная x_j — любое число, то j-е ограничение двойственной задачи является равенством;

7') если i-е ограничение прямой задачи является неравенством, то соответствующая ему переменная двойственной задачи u_i ≥ 0; если же это ограничение — равенство, то соответствующая ему переменная u_i может принимать любые значения.

Пример 1.3. Рассмотрим следующую задачу:

Z = 2х₁ + 5х₂ + 4х₃  max,

u₁ ↔ 4х₁ + 2х₂ + 8х₃ ≤ 8,

u₂ ↔ 3х₁ – 5х₂ + 9х₃ = 6,

х₁ ≥ 0, х₂ ≥ 0.

Двойственной к ней будет задача:

W = 8u₁ + 6u₂  min,

x₁ ↔ 4u₁ + 3u₂ ≥ 2,

x₂ ↔ 2u₁ – 5u₂ ≥ 5,

x₃ ↔ 8u₁ + 9u₂ = 4,

u₁ ≥ 0.

Так как второе ограничение в прямой задаче имеет тип равенства, то соответствующая ему двойственная переменная u₂ может принимать любые значения, т.е. является свободной переменной. Переменная х₃ в прямой задаче является свободной переменной. Поэтому соответствующее ей третье ограничение двойственной задачи должно иметь тип равенства.

§2. Теоремы двойственности

Рассмотрим симметричную пару двойственных задач:

Прямая задача	Двойственная задача
Z = ,	W = ,
,	,
.	.

1. Основное неравенство теории двойственности

Предположим, что обе задачи имеют допустимые решения. Тогда легко проверить, что если х = (х₁,…, х_n) и u = (u₁,…, u_m) — допустимые решения этих задач, то справедливо неравенство:

≤ . (2.1)

Неравенство (2.1), которое выполняется для любых допустимых решений пары двойственных задач, называется основным неравенством теории двойственности. Его экономическая интерпретация для общей задачи фирмы такова: для любого допустимого плана выпуска продукции х = (х₁,…, х_n) и любого допустимого вектора оценок ресурсов u = (u₁,…, u_m) суммарная стоимость произведенной продукции не превосходит суммарной оценки ресурсов.

Так как неравенство (2.1) верно для любых допустимых решений, то из него следует, что если оно превращается в равенство, то соответствующие решения будут оптимальными в своих задачах. Таким образом, справедлив следующий критерий оптимальности решений, впервые сформулированный Л.В. Канторовичем.

Теорема 2.1 (критерий оптимальности Канторовича). Если в паре двойственных задач значения их целевых функций совпадают на допустимых решениях и , т.е.

= ,

то векторы x^* и u^* — оптимальные решения в этих задачах.

Этот критерий дает простой способ проверки оптимальности допустимых решений в паре двойственных задач. Для этого достаточно вычислить на них значения целевых функций. Если они совпадают, то найденные решения оптимальны. Экономическое содержание этого критерия таково: план выпуска продукции x^* и вектор оценок ресурсов u^* являются оптимальными, если суммарная стоимость произведенной продукции равна суммарной оценке ресурсов.

Из неравенства (2.1) также получаем условия разрешимости пары двойственных задач.

Теорема 2.2. Для существования оптимальных решений в паре двойственных задач достаточно, чтобы каждая из них имела допустимое решение.

Действительно, в этом случае значения целевой функции в каждой из этих задач будут ограничены: в прямой задаче — сверху, а в двойственной — снизу, что обеспечивает их разрешимость (см. теорему 3.4 главы 1).