Глава 2. Теория двойственности

Любой задаче линейного программирования можно сопоставить по определенным правилам другую задачу линейного программирования, называемую двойственной задачей. Между их решениями имеются тесные связи, изучаемые теорией двойственности, которая является важнейшим разделом линейного программирования.

Совместное рассмотрение пары двойственных задач играет большую роль как при изучении общих свойств задач линейного программирования, так и при разработке различных методов их решения. Оптимальное решение двойственной задачи содержит ценную информацию, используемую при экономико-математическом анализе результатов решения задачи линейного программирования.

§1. Правила построения двойственной задачи

1. Задача определения оптимальных цен ресурсов (задача торга)

Чтобы было яснее, как возникают двойственные задачи, рассмотрим общую задачу фирмы.

Z = (1.1)

(1.2)

. (1.3)

Здесь А = (а_ij) — матрица норм расхода ресурсов размерности mxn, с = (с₁,…, с_n) — вектор цен изделий, b = (b₁,…, b_m) — вектор наличных ресурсов, х = (х₁,…, х_n) — вектор плана выпуска.

Допустим, что ресурсы фирмы хочет купить какой-то предприниматель, чтобы использовать их в собственном производстве. Их владелец не возражает против этой сделки. Однако для него важно, чтобы продажа ресурсов принесла ему не меньший доход чем, если бы он пустил их в дело. Поэтому при определении цен u = (u₁,…, u_m) на ресурсы он рассуждает так.

Для выпуска единицы j-го вида продукции нужно затратить вектор A_j = (a_1j,…, a_nj) ресурсов, а доход от ее продажи равен с_j. Значит, чтобы не понести убытки, мне следует продать этот вектор ресурсов за сумму, не меньшую, чем с_j.

Таким образом, цены должны удовлетворять следующему условию:

a_1j u₁ + …+ a_mj u_m ≥ с_j для всех .

Покупатель при определении цен на ресурсы заинтересован в том, чтобы заплатить за них как можно меньшую сумму. Следовательно, он стремится к тому, чтобы суммарная стоимость ресурсов W = b₁u₁ + … + b_mu_m была минимальной. Поэтому определение вектора цен ресурсов u = (u₁,…, u_m), который устраивал бы обе стороны, сводится к решению задачи линейного программирования.

W = (1.4)

(1.5)

. (1.6)

Задача (1.4) – (1.6) называется двойственной к задаче (1.1) – (1.3). Задача (1.1) – (1.3) называется прямой (исходной) задачей по отношению к задаче (1.4) – (1.6).

Итак, двойственная задача к задаче фирмы интерпретируется как задача определения оптимальных цен на ресурсы фирмы, ее переменные — как их цены, а целевая функция — как суммарная стоимость ресурсов в этих ценах.

Отметим, что оптимальные цены ресурсов u = (u₁,…, u_m) не являются рыночными ценами, поэтому точнее называть их двойственными оценками или просто оценками ресурсов, что мы, как правило, и будем делать в дальнейшем. Компоненты решения двойственной задачи также называют объективно обусловленными оценками (Канторович) или теневыми ценами (Купманс).

2. Случай задачи в стандартной форме

Задача (1.1) – (1.3) является общей задачей линейного программирования в стандартной форме. Анализ двойственной задачи показывает, что при ее составлении были использованы следующие правила:

1) каждому ограничению i прямой задачи соответствует переменная u_i двойственной задачи;

2) каждой переменной x_j прямой задачи соответствует ограничение j двойственной задачи;

3) коэффициентами при переменных в целевой функции двойственной задачи становятся элементы вектора ограничений b = (b₁,…, b_m) прямой задачи, причем тип экстремума меняется на противоположный;

4) элементами вектора правой части двойственной задачи становятся коэффициенты при переменных c_j в целевой функции прямой задачи;

5) каждый столбец в матрице ограничений прямой задачи формирует ограничение двойственной задачи;

6) тип неравенства в ограничениях меняется на противоположный;

7) переменные двойственной задачи удовлетворяют стандартным условиям неотрицательности u_i ≥ 0.

Таким образом, число переменных в двойственной задаче равно числу ограничений в прямой задаче, число ограничений в двойственной задаче равно числу переменных в прямой задаче, а матрица ограничений А^Т двойственной задачи является транспонированной к матрице А ограничений прямой задачи (строки заменяются столбцами, а столбцы — строками).

Если построить по этим правилам задачу, двойственную к задаче (1.4) – (1.6), то мы получим задачу (1.1) – (1.3). Это означает, что отношение двойственности симметрично и можно говорить о симметричной паре двойственных задач. В матричной форме записи эти задачи выглядят так:

Прямая задача	Двойственная задача
Z = (c, x) → max,	W = (b, u) → min,
Ax ≤ b,	ATu ≥ c,
x ≥ 0.	и ≥ 0.

Пример 1.1. Построим двойственную задачу к задаче фирмы:

Z = 9х₁ + 8х₂  max,

u₁ ↔ х₁ + 4х₂ ≤ 90,

u₂ ↔ 4х₁ + 2х₂ ≤ 80,

u₃ ↔ 2х₁ + 4х₂ ≤ 140,

х₁ ≥ 0, х₂ ≥ 0.

Двойственная к ней задача имеет следующий вид:

W = 90u₁ + 80u₂ + 140u₃ min,

x₁ ↔ u₁ + 4u₂ + 2u₃ ≥ 9,

x₂ ↔ 4u₁ + 2u₂ + 4u₃ ≥ 8,

u₁ ≥ 0, u₂ ≥ 0, u₃ ≥ 0.

С помощью двусторонней стрелки (↔) показано соответствие между переменными одной задачи и ограничениями двойственной ей задачи.