Билет 11: Признак монотонности функции. Отыскание точек локального экстремума функции

(http://webmath.exponenta.ru/s/kiselev1/node68.htm http://www.bymath.net/studyguide/ana/sec/ana7.htm )

Достаточные признаки монотонности функции.

Если  f ’( x ) > 0  в каждой точке интервала ( a, b ), то функция  f ( x ) возрастает на этом интервале.

Если  f ’( x ) < 0  в каждой точке интервала ( a, b ) , то функция  f ( x ) убывает на этом интервале.

Нахождение промежутков монотонности. Для этого находят производную и решают неравенство . На промежутках, где это неравенство выполнено, функция возрастает. Там, где выполнено обратное неравенство , функция убывает. Если два ннтервала возрастания (или убывания) и примыкают друг к другу в точке и функция непрерывна в этой точке , то возрастает на интервале .

Найдя интервалы монотонности, мы можем сразу определить точки локального экстремума (пользуясь теоремой 7.10 и не прибегая к теореме 7.11): там, где возрастание сменяется убыванием²⁰, располагаются локальные максимумы, а там, где убывание сменяется возрастанием -- локальные минимумы.

Билет 12: Определение предела функции. Свойства предела. (http://matan.Isu.Ru/matan/lim_and_count.Html http://ru.Wikipedia.Org/wiki/%cf%f0%e5%e4%e5%eb_%f4%f3%ed%ea%f6%e8%e8 )

Преде́л фу́нкции (предельное значение функции) в заданной точке, предельной для области определения функции, — такая величина, к которой стремится рассматриваемая функция при стремлении её аргумента к данной точке.

Свойства пределов числовых функций

Пусть даны функции и .

Одна и та же функция в одной и той же точке может иметь только один предел.

Доказательство  [показать]

Сходящаяся функция локально сохраняет знак. Более обще,

где  — проколотая окрестность точки .

В частности, функция, сходящаяся к положительному (отрицательному) пределу, остаётся положительной (отрицательной) в некоторой окрестности предельной точки:

Сходящаяся функция локально ограничена в окрестности предельной точки:

Отделимость от нуля функций, имеющих предел, отличный от нуля.

Операция взятия предела сохраняет нестрогие неравенства.

Правило двух милиционеров

Предел суммы равен сумме пределов:

Предел разности равен разности пределов:

Предел произведения равен произведению пределов:

Предел частного равен частному пределов.

Билет 13: Эллипс. Свойства Эллипса

http://old.college.ru/mathematics/courses/planimetry/content/chapter10/section/paragraph8/theory.html

Определение. Эллипс - это геометрическая фигура, которая ограничена кривой, заданной уравнением .

Он имеет два фокуса. Фокусами называются такие две точки, сумма расстояний от которых до любой точки эллипса есть постоянная величина.

 

Чертеж фигуры эллипс

F₁ , F₂ – фокусы . F₁ = ( c ; 0); F ₂ (- c ; 0)

с – половина расстояния между фокусами;

a – большая полуось;

b – малая полуось.

 

Теорема. Фокусное расстояние и полуоси связаны соотношением:

a² = b ² + c ².

 

Доказательство: В случае, если точка М находится на пересечении эллипса с вертикальной осью, r₁ + r₂ = 2* (по теореме Пифагора). В случае, если точка М находится на пересечении его с горизонтальной осью, r₁ + r ₂ = a – c + a + c. Т.к. по определению сумма r₁ + r ₂ – постоянная величина, то , приравнивая, получаем:

 

a ² = b ² + c ²

 

r₁ + r₂ = 2 a .

Свойства эллипса.

Теорема. (Свойства эллипса.)

1. В канонической для эллипса системе координат, все

    точки эллипса находятся в прямоугольнике

                                , .

2. Точки  лежат на

    эллипсе.

3. Эллипс является кривой, симметричной относительно

    своих главных осей.

4. Центр эллипса является его центром симметрии.

   Доказательство. 1, 2) Сразу же следует из канонического уравнения эллипса.

3, 4) Пусть М(х, у) – произвольная точка эллипса. Тогда ее координаты удовлетворяют уравнению (4). Но тогда координаты точек  также удовлетворяют уравнению (4), и, следовательно, являются точками эллипса, откуда и следуют утверждения теоремы.

Теорема доказана.