Билет 28: Формула Ньютона-Лейбница
Формула Ньютона – Лейбница
,
где F(x) – первообразная для f(x),
т.е. F'(x)=f(x).
Пример.
1. Вычислить
по
формуле Ньютона – Лейбница.
Решение. Имеем
.
2. Вычислить
.
Решение. Положим
,
тогда
.
Если х=1, то t= 0, если х=е,
то t= 1. Следовательно,
.
Билет 29: Интегрирование посредством замены переменной
Вычислить заданный интеграл непосредственным интегрированием удается далеко не всегда, а иногда это связано с большими трудностями. В этих случаях применяют другие приемы. Одним из наиболее эффективных приемов является метод подстановки или замены переменной интегрирования. Сущность этого метода заключается в том, что путем введения новой переменной интегрирования удается свести заданный интеграл к новому интегралу, который сравнительно легко берется непосредственно. Если после замены переменной интеграл стал проще, то цель подстановки достигнута. В основе интегрирования методом подстановки лежит формула
Рассмотрим этот метод.
Алгоритм вычисления неопределенного интеграла методом подстановки:
Определяют, к какому табличному интегралу приводится данный интеграл (предварительно преобразовав подынтегральное выражение, если нужно).
Определяют, какую часть подынтегральной функции заменить новой переменной, и записывают эту замену.
Находят дифференциалы обеих частей записи и выражают дифференциал старой переменной (или выражение, содержащее этот дифференциал) через дифференциал новой переменной.
Производят замену под интегралом.
Находят полученный интеграл.
В результате производят обратную замену, т.е. переходят к старой переменной. Результат полезно проверять дифференцированием.
Рассмотрим примеры.
Примеры. Найти интегралы:
1)
)4
Введем подстановку:
Дифференцируя
это равенство, имеем:
Билет 30: Длина дуги плоской кривой
Вычисление длины дуги плоской кривой
Пусть известна
функция
и
требуется найти длину дуги, заданной
функцией
,
где
.
Для определения
длины дуги
необходимо
вычислить определенный
интеграл:
Рассмотрим случай параметрического задания кривой:
где
.
В этом случае для определения длина
дуги
вычисляется
определенный
интеграл:
Рассмотрим
случай, когда кривая задается в полярных
координатах
где
.
Тогда для определения длины дуги
вычисляется
следующий определенный
интеграл:
Билет 31: Несобственный интеграл первого рода (http://www.Mathprofi.Ru/nesobstvennye_integraly.Html подробности тут)
Несобственный интеграл с бесконечным пределом (ами) интегрирования
Иногда
такой несобственный интеграл еще
называют несобственным
интегралом первого рода.
В общем виде несобственный интеграл с
бесконечным пределом чаще всего выглядит
так:
.
В чем его отличие от определенного
интеграла? В верхнем пределе. Он
бесконечный:
.
Реже
встречаются интегралы с бесконечным
нижним пределом
или
с двумя бесконечными пределами:
.
Мы
рассмотрим самый популярный случай
.
Техника работы с другими разновидностями
– аналогична, и в конце параграфа будет
ссылка на такие примеры.