5.4.2.Числовые характеристики дискретной случайной

величины

1. Математическое ожидание

Закон распределения дискретной случайной величины дает исчерпывающую информацию о ней, так как позволяет вычислить вероятности любых событий, которые связаны со случайной величиной. Однако ряд распределения бывает трудно обозримым и поэтому не всегда удобным для практического анализа. Приведем один пример. Пусть даны ряды распределения случайных величин – числа очков, выбиваемых первым и вторым стрелком, если каждый сделал 10 выстрелов. Необходимо выяснить, какой из этих двух стрелков стреляет лучше. Рассматривая ряды и полигоны распределения заданных случайных величин ответить на этот вопрос не просто из-за обилия числовых значений. В то же время, очевидно, что лучше стреляет тот, кто в среднем выбивает большее число очков. Таким средним значением случайной величины является ее математическое ожидание.

Определение. Математическим ожиданием (или средним значением) дискретной случайной величины называется сумма произведений всех ее значений на соответствующие им вероятности:

.

Свойства математического ожидания

1. Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной:

.

2. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания:

.

3. Математическое ожидание алгебраической суммы конечного числа случайных величин равно такой же сумме их математических ожиданий:

4. Математическое ожидание произведения конечного числа независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий:

.

2. Дисперсия случайной величины

Математическое ожидание не всегда дает возможность увидеть различие в поведении случайных величин. Второй важной характеристикой случайной величины является степень отклонения ( разброса ) случайной величины от ее математического ожидания (от ожидаемого среднего значения ) – дисперсия случайной величины.

Определение. Дисперсией дискретной случайной величины называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее среднего значения: .

Нетрудно доказать, что дисперсия может быть найдена также по формуле

Решая практические задачи, удобнее применять именно эту формулу.

Свойства дисперсии

1. ,

2. ,

3. .

Дисперсия имеет размерность квадрата случайной величины, а это не всегда удобно. Поэтому наряду с дисперсией для характеристики разброса значений случайной величины относительно ее математического ожидания используют также величину . Она называется средним квадратическим отклонением случайной величины:

Обратим внимание на то, что сама величина – случайная, а ее числовые характеристики являются величинами неслучайными, постоянными.

Их значение состоит в том, что они в сжатой форме выражают наиболее существенные свойства случайной величины.

5.4.3. Непрерывные случайные величины

Так как непрерывная случайная величина принимает все значения из некоторого числового промежутка, то перечислить эти значения невозможно. Поэтому для непрерывной случайной величины нельзя построить ряд распределения и для ее задания используют более общий способ – функцию распределения.

Определение. Функцией распределения случайной величины называется функция , равная вероятности того, что случайная величина принимает значение, меньшее :

< .

Ф

ункция распределения является одной из форм закона распределения и может быть определена как для дискретной, так и для непрерывной случайной величины. Геометрически функция распределения – это вероятность того, что случайная величина принимает значения, которые на числовой прямой лежат левее точки .

Пример.

Свойства функции распределения

1. , .

2.Значения функции распределения принадлежат отрезку [0,1]:

.

3. – неубывающая функция, т.е. если > , то > .

4. Вероятность того, что случайная величина примет значение в интервале равна :

< < .

Наряду с функцией распределения для задания случайной величины используют также функцию, которая называется плотностью распределения.

Определение. Плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины называется такая неотрицательная функция , определенная на всей числовой оси, что для всех :

.

Из этого определения следует, что, зная плотность распределения , можно найти функцию распределения . И наоборот, по известной функции распределения можно восстановить плотность распределения:

.

Приведем примеры наиболее известных и применяемых распределений случайных величин.

1. Равномерно распределенная случайная величина

О пределение. Случайная величина называется равномерно распределенной на отрезке , если ее плотность распределения вероятностей имеет вид:

График плотности распределения вероятностей равномерно распределенной случайной величины приведен на рисунке ?

Математическое ожидание такой случайной величины вычисляется по формуле , а дисперсия – по формуле .

Равномерный закон распределения используется при анализе ошибок округления при проведении числовых расчетов, в ряде задач массового обслуживания, при статистическом моделировании наблюдений.

Задача 3. Поезда метрополитена идут регулярно с интервалом 2 мин. Пассажир приходит на станцию в случайный момент времени. Найдите вероятность того, что ждать поезда пассажиру придется не больше полминуты. Найдите также математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение времени ожидания поезда.

Решение. Случайная величина – время ожидания поезда на временном интервале [0,2] (в минутах) имеет равномерный закон распределения (см. рис.3). Поэтому вероятность того, что пассажиру придется ждать не более полминуты, равна от равной 1 площади прямоугольника, т.е. .

, , .

2. Показательное распределение случайной величины

Определение. Случайная величина называется распределенной по показательному закону, если ее плотность распределения имеет вид:

График плотности распределения этой случайной величины приведен на рисунке 4.

Рис.4

Для случайной величины, распределенной по этому закону, основные характеристики вычисляются по формулам:

, , .

3. Случайная величина, распределенная по нормальному закону

Определение. Случайная величина называется распределенной по нормальному закону, если ее плотность распределения имеет вид:

,

где и – параметры нормального распределения: параметр является математическим ожиданием случайной величины, а параметр – ее средним квадратическим отклонением. График этой функции представлен на рисунке 5.

Рис.5

Нормальное распределение называют также Гауссовским. Это – наиболее часто встречающийся на практике закон распределения вероятностей. О значении этого закона говорит следующая теорема, которая носит название центральной предельной теоремы:

Если случайная величина представляет собой сумму очень большого числа независимых случайных величин, влияние каждой из которых на всю сумму ничтожно мало, то имеет распределение, близкое к нормальному.

На всех рисунках площадь заштрихованной фигуры равна вероятности попадания значений рассматриваемой случайной величины на указанный отрезок .

Задачи

77. Устройство состоит из трех независимо работающих элементов. Вероятность отказа каждого элемента в одном опыте равна 0,2. Составить ряд распределения числа отказавших элементов в одном опыте.

78. Охотник дважды стреляет по цели. Вероятность попадания стрелка при одном выстреле равна 0, 7. Составить ряд распределения числа попаданий стрелка в цель и построить многоугольник полученного распределения.

79. Два стрелка независимо друг от друга производят по одному выстрелу по цели. Вероятность попадания в цель первого стрелка равна 0,8, а второго – 0,7. Составьте ряд распределения числа попаданий в цель.

80. Найдите математическое ожидание и дисперсию случайной величины:

Х	0	2	3
Р	0,3		0,5

81. Найдите математическое ожидание и дисперсию случайной величины:

Х	0	2	3
Р	0,4	0,3

82. Найдите математическое ожидание и дисперсию случайных величин из задач 76 – 78.

.83. Дискретная случайная величина задана рядом распределения:

Х	1	3	4	6
Р	0,2	0,3	0,2	0,3

Найдите функцию распределения и постройте ее график.

84. Дана функция распределения непрерывной случайной величины :

Найдите плотность распределения и постройте ее график.

85. Случайная величина равномерно распределена на отрезке

[-2,3]. Запишите выражение для функции распределения этой случайной величины.

86. Время горения красного сигнала светофора 20 сек. Автомобиль остановился на перекрестке на красный свет. Найдите вероятность того, что он уедет с перекрестка позднее, чем через 15 секунд.

87. Рейсовый автобус движется по маршруту строго по расписанию с интервалом 10 мин. Найдите вероятность того, что случайно подошедший к остановке пассажир будет ожидать автобуса менее 2 минут.

88. Рейсовый автобус движется по маршруту строго по расписанию с интервалом 12 мин. Найдите вероятность того, что случайно подошедший к остановке пассажир будет ожидать автобуса менее 3 минут. Найдите также математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение времени ожидания автобуса.