5.3. Полная группа событий. Формула полной вероятности

Напомним, что события А₁, А₂, …, А_k образуют полную группу, если они попарно несовместны и их сумма является достоверным событием:

А₁ + А₂ + … + А_k = U.

Пусть события образуют полную группу, и событие А наступает только после наступления одного из этих событий, а какого именно, неизвестно. Тогда вероятность события А вычисляется по формуле

.

Эта формула называется формулой полной вероятности, а события, , после одного из которых наступает событие А, – гипотезами.

Из формулы полной вероятности легко найти вероятность для любого ( ) :

,

где .

Эту формулу называют формулой Байеса.

Ее применяют при решении практических задач, связанных с вероятностной оценкой гипотез после проведения эксперимента, так как она позволяет найти вероятность каждой гипотезы при условии, что событие произошло.

Задачи

57. Поступающие в магазин часы изготовляются на трех заводах. Первый завод производит 40% продукции, второй – 45%, третий – 15%. В продукции первого завода 80% часов спешат, второго завода 70% часов спешат, третьего – 90% часов спешат. Какова вероятность того, что купленные наудачу часы спешат?

58. Детали на сборку поступают с трех автоматов, Известно, что первый автомат дает 0,3% брака, второй – 0,2%, третий – 0,4%. Найдите вероятность попадания на сборку бракованной детали, если с первого автомата поступило 1000 деталей, со второго – 2000, с третьего – 2500.

59. По самолету производятся три выстрела. Вероятность попадания при первом выстреле равна 0,5, при втором – 0,6, при третьем – 0,8. При одном попадании самолет сбивается с вероятностью 0,3, при двух – с вероятностью 0,6 , а при трех самолет сбивается наверняка. Какова вероятность сбить самолет?

60. Два станка производят детали, поступающие на общий конвейер. Вероятность получения стандартной детали на первом станке равна 0,9, на втором – 0, 85. Производительность второго станка вдвое больше производительности первого. Определите вероятность того, что наудачу взятая с конвейера деталь стандартная.

61. Рабочий обслуживает три станка, на которых обрабатываются однотипные детали. Вероятность брака для первого станка равна 0, 02, для второго – 0,03, для третьего – 0, 04. Обработанные детали складываются в один ящик. Производительность первого станка в три раза больше производительности второго, а третьего в два раза меньше, чем второго. Определите вероятность того, что взятая наудачу из ящика деталь будет бракованной.

62. В белом ящике лежат 12 красных и 6 синих шаров, одинаковых на ощупь. В желтом ящике лежат 15 красных и 10 синих одинаковых на ощупь шаров. Бросается игральная кость. Если число выпавших очков кратно трем, то наудачу вынимают шар из белого ящика. Если число выпавших очков не кратно трем, то наудачу вынимают шар из желтого ящика. Какова вероятность вынуть красный шар?

63. Старшая дочь моет посуду раз в неделю. Вероятность того, что она разобьет тарелку, составляет 5%. Младшая дочь моет посуду во все остальные дни. Вероятность того, что она разобьет тарелку, равна 20%. Какова вероятность того, что в среду во время мытья посуды будет разбита тарелка? Какова вероятность, что эту тарелку разбила младшая дочь?

64. Фирма продает батарейки, изготовленные на двух заводах. Первый завод поставляет на фирму 60% батареек, второй – 40%. Вероятность брак на первом заводе составляет 3%, на втором – 4%. Найдите вероятность того, что купленная на фирме батарейка окажется без брака. Найдите вероятность того. что эта батарейка изготовлена на первом заводе.

65. В двух пакетах находятся по 20 конфет одинаковой формы. В первом пакете 5 конфет с темной начинкой, а остальные – со светлой. Во втором – 8 конфет с темной начинкой, а остальные – со светлой. Из наудачу выбранного пакета берут одну конфету. Какова вероятность, что взята конфета с темной начинкой?

66. В магазине половина всех товаров произведена на первой фабрике, 1/3 всех товаров – на второй, 1/6 всех товаров – на третьей. Вероятность брака на первой фабрике составляет 0,04, на второй – 0,01, на третьей – 0,04. Куплено одно изделие. Какова вероятность, что оно бракованное? Какова вероятность, что купленное бракованное изделие изготовлено на третьей фабрике?

67. Первая секретарь-машинистка набрала 200 страниц текста и в 5% из них сделала ошибки. Вторая машинистка набрала 300 страниц и в 3% из них сделала ошибки. Наудачу для проверки выбрана одна страница текста. С какой вероятностью она содержит ошибки?

68. В первой урне 5 белых и 15 черных шаров, а во второй урне – 4 белых и 8 черных шаров. Из первой урны во вторую переложили один шар. Затем из второй урны вынули один шар. С какой вероятностью этот шар окажется белым? Черным?

69. В первой урне 20 шаров, среди которых 5 шаров – белые. Во второй урне 10 шаров, из них 3 белых. Из каждой урны взяли наудачу по одному шару, а затем из этих двух шаров выбрали наудачу один шар. С какой вероятностью он окажется белым?

70. На экзамене студенту предлагается выбрать наугад один из 20 экзаменационных билетов. Он может ответить на «отлично» на 8 билетов с вероятностью 0,9, еще на 10 билетов – с вероятностью 0,6 и на 2 билета – с вероятностью 0,2. Найдите вероятность того, что студент, выбрав билет, ответит на него на «отлично».

71. В ящик, содержащий 2 шара, опускают белый шар, после чего из него наудачу берут шар. Найдите вероятность того, что извлеченный шар белый, если все предположения о первоначальном составе шаров по цвету равновозможны.

72. В специализированную больницу поступают в среднем 50% больных с заболеванием А, 30% больных с заболеванием Б, 20% – с заболеванием С. Вероятность полного излечения болезни А равна 0,7. Для болезней Б и С эти вероятности соответственно равны 0,8 и 0,9. Больной, поступивший в больницу, выписан здоровым. Найдите вероятность того, что он страдал заболеванием А.

73. Преподаватель шутки ради предложил студенту распределить по двум урнам два белых и один черный шар. Преподаватель выбирает наугад урну и вынимает из нее один шар. Если шар будет белый, то студент получает зачет по теории вероятностей. Каким образом студенту следует распределить шары по урнам, чтобы иметь наибольший шанс получить зачет?

74. Имеются три колоды по 36 карт и две колоды по 52 карты. Наудачу выбирается колода, а из нее карта. 1) Какова вероятность, что взят туз? 2) Взятая карта оказалась дамой. Какова вероятность, что она взята из колоды в 36 карт?