16. Числовые характеристики законов распределения

Нам известно, что результат измерения равен:

(1) – неисправленная

Как правило, системная погрешность ( ) известна и в результате вносится абсолютная поправка , т.е. получается исправленный результат:

(2) – исправленная

Т.к. в равенствах (1) и (2) присутствует случайная погрешность, то исправленный и неисправленный результаты являются случайной величиной.

1) Координаты центра распределения

Предположим, мы имеем СВ с характеристиками - допустимые значения и вероятности появления данных допустимых значений , т.е. имеем функцию распределения.

Координаты центра распределения имеет вид:

Если рассмотреть допуст-е значения как координаты точек, расположенных вдоль некоторого стержня, а вероятности данных допустимых значений как массы грузов, подвешенных в этих точках, то координаты центра распределения будет совпадать с центром тяжести образовавшейся системы, поэтому ее называют средним взвешенным звеном или математическим ожиданием М( ).

2)Мода (М₀)

Это значение С.В. при максимальном значении плотности распределения.

X=M₀, при f(X)=f_max(X)

3) Медиана (М_е)

- это значение СВ, ордината в точке которой делит площадь под кривой плотности распределения пополам.

P(θ≤M_e) = P(θ≥M_e)

Попадание СВ слева и справа от медианы равновероятно

P(θ≤M_e) = P(θ≥M_e) = 0,5

При симметричном распределении мода, медиана и математическое ожидание совпадают: M₀ = M_e = M(θ).

4)Моменты распределения

Моменты распределения бывают начальные и центральные.

Начальные моменты характеризуют распределения неисправленных результатов.

-начальный момент

Центральные моменты распределения характеризуют распределение исправленных результатов, в которых M(X)=0.

Центральный момент S-порядка имеет вид:

т.к. ,то получим

16 - ПРОДОЛЖЕНИЕ

M₃ –характеризует ассиметрию распределения

- коэффициент ассиметрии

-характеризует островершинность и плосковершинность распределения. Его характеристикой является эксцесс.

ε=Е_Х =

В ряде случаев ε бывает очень большим, поэтому в место ε вводится контрэксцесс

- контрэксцесс

20. Распределение Стьюдента.

Если закон распределения случ. величины не известен и нет сведений о нормальности его распределения, то используется распределение Стьюдента.

В первые это распределение предложен В.С. Госсет. При симметричном распределении сл. велчины относительно мат. ожидания.

- абсолютное отклонение.

Вероятность того, что абсолютное отклонение не превысит заданное число ε

При распределении Стьюдента имеет вид.

(1)

где (2)

Плотность распределения Стьюдента

среднее квадратичное отклонение среднего арифметического

- среднее арифметическое.

Рассмотрим равенство (1).

(3)

где (4) дробь Стьюдента.

Т.о. равенство (3) характеризует вероятность того что дробь Стьюдента t в интервале (-t_p;t_p) некоторое значение.

Величины t_p, вычисленные по формулам (2) и (3) приводятся в таблице распределения Стьюдента

Таблица распределения Стьюдента.

t_p=f(q,k), где q=1-p_д – уровень значимости.

P_д- принятая доверительная вероятность.

К=n-1 - число степеней свободы

n – число результатов

K	q,%
	10%	5%	1%
7	1.9	2.36	3.5
10	1.81	2.23	3.17
24	1.71	2.6	2.8
∞	1.64	1.96	2.58

Распределение Стьюдента стремится к нормальному распределению, т.е.

1.64t_p q=10% q=0/1

t=1.64