15. Выражение неравенств через вероятность функции распределения и плотность распределения
Рассмотрим эту связь:
а) Р(θ≤Х)=Р1=F(X)=
б) A=x1
в)
14. Вероятностные оценки погрешностей си. Некоторые сведения из теории вер.
При измерениях ФВ устан-ся причинно-следственные связи м/у отдельными явлениями: явл-причина (фактор), явл-следствие (результат). Явл-следствие разбивается на частные явления относит-но которых нужно выяснить произошли они или не произошли. Такие частные явления наз. событиями.События, которые при заданном комплексе факторов (явл-причин) обязат-но произойдет наз. достоверным, кот. не произойдет- невозможным. А кот-ое либо произойдет, либо нет – случайным. Возможность случайного события (сс) становиться достоверным хар-ся вер-тью. Результат измерения по выяснению характера соб-я(достоверное или невозмо-жное) наз. исходом. Вер-ть сс равна отношению числа исходов благо-приятствующих соб-ю к числу всех возможных исходов.
р-вероятность,
А – сс, р(А) – вер-ть сс А;
;
n1- число исходов благоприят-х соб-ю, n-число всех возможных исходов.
Аксиомы теории вер.
1.Вер любого соб. число неотр-ное, р(А)≥0.
2.Вер достоверного соб. равна 1, р(А)=1.
3.Вер невозможного соб. равна 0, р(А)=0.
4.Вер сс: 0<р(А)<1.
5.Совместная вер противопол.-х соб равна 1: р(А+Ā)=р(А)+р(Ā)=1.
Случайные величины(СВ) – результаты эксперимента.
Величина числовое значение кот-ой при выполнении экспер-та нельзя предсказать наз случайной.θ – случайная величина. θ имеет ряд допустимых зн-ний: Х1,Х2, . . Хn –допуст. зн-ния, но в результате измерения принимает лишь одно из них. Число допуст зн-ний может быть конечным и ∞. В соответствии с этим θ наз конечнозначной или ∞-ной. θ также бывают дискретными и непрерывными. Если м/у любыми зн-ми θ заключено лишь конечное число др допуст-х зн-ний то θ наз дискретной, в противном случае - непрерыв. В дальнейшем будем рассм-ть только бескон. непрерыв θ. Для полной хар-ки СВ необх-мо указать не только ее допуст зн-ния, но и как часто(с какой Р) принимает она эти допуст зн-ния, р1,р2, ..рn – вер допуст зн-ний. Соответствие м/у доп знач СВ и вер-ми их появления наз ф-цией распределения. θ≤Х1=А1; р(А)=р(θ≤Х1)=F(Х1)-ф-ция распред. А=Х1≤θ≤Х2; р(А)=р(Х1≤θ<Х2)=F(X2)-F(X1);
Свойства ф-ции распред(ФР).
1.Если СВ непрерыв, то и ФР явл-ся непрерыв.
2.Если Х2>Х1, то F(X2)>F(X1), т.е. ФР явл-ся неубывающей.
3.Если 0<р(А)<1, то 0<р(θ≤Х1)=F(X1)<1.
Она может быть представлена графически (рис1)
В формулах вер есть: «< >» - строгие знаки, «≤ ≥» - нестрогие знаки. Всегда ли их нужно учитывать? р(θ≤Х) = р(θ=Х) + р(θ<Х);
а)
Для непрерывной СВ
,
доп знач принимается с нулевой Р.
След-но для непрерыв СВ знаки учитывать не надо.
б)
Для дискрет СВ
.
След-но для дискрет СВ строгие и нестрогие
знаки необходимо учитывать.
Рассм-м СВ в небольшом проиежутке: Х≤θ<(Х+ΔХ);р( Х≤θ<Х+ΔХ)=F(Х+ΔХ)-F(X)(рис2)
α
– наклон секущей в точках рез-та Х, Х+ΔХ
;
;
- плотность распред.
Плотность распр хар-т закон распр. Р (рис3). А – точка перегиба.
В
соотв. с формулой Ньютона-Лейбница
(*)
хар-т площадь (заштрихованную) ограниченную
кривой плотности распр и ординатами в
точках доп знач Х1
и Х2.
F(+∞)=р(θ≤+∞)=1; F(–∞)=р(θ≤–∞)=0;
Т.е. площадь под кривой распред равна 1.
