Ответы на билеты для экзамена по математике (1 семестр) / БИЛЕТ 16

Билет № 16

1. Каноническое уравнение прямой на плоскости. Параметрическое уравнение прямой на плоскости. Уравнение прямой, проходящей через 2 точки. Уравнение прямой с угловым коэффициентом.

Каждый не равный нулю вектор, лежащий на данной прямой или параллельный ей, называется

направляющим вектором этой прямой. Координаты направляющего вектора l,m на плоскости:

Если известна одна точка прямой и координаты направляющего вектора , то

прямая может быть:

В таком виде уравнение прямой на плоскости называется каноническим. Если принять одно из

соотношений за t, то получим параметрическое уравнение:

Параметр t имеет физический смысл, например, время, при прямолинейном и равномерном

движении.

Если нам даны две точки на прямой . Тогда можно построить вектор

, который будет направляющим для прямой L. Из канонического уравнения получаем уравнением прямой, проходящей через две точки на плоскости:

Возьмем на прямой произвольную точку M(x,y). Проведём из точки N ось Nx' параллельную оси

Оx и одинаково направленная с ней. В системе Nx'y точка M имеет координаты x и y-b. ИЗ

определения тангенса следует:

Введём обозначения: tga=k,получаем уравнение: y=kx+b

2. Свойства функций непрерывных на отрезке [a,b] (теоремы Вейерштрасса об ограниченности функций и о достижении функцией точных верхней и нижней граней и теорема Коши о промежуточных значениях).

Теорема Вейерштрасса:

Если функция непрерывна на сегменте, то она достигает на нем своих граней (т.е. непрерывная на сегменте функция принимает свое наибольшее и наименьшее значения). Доказательство: Пусть f(x)∈C([a;b]) , c=infx∈[a;b]f(x), d=supx∈[a;b]f(x). По первой  теореме Вейерштрасса c,d∈R . Докажем, что f достигает на [a;b] своих граней, т.е. найдутся такие точки x1,x2∈[a;b] , чтоf(x1)=c,f(x2)=d. Докажем, например, существование точки x2.

По определению верхней грани имеем (∀x∈[a;b])(f(x)=d) . Предположим противное, т.е. точки x2, в которой f(x2)=dна [a;b], тогда на [a;b] выполняется условиеf(x)<d или d−f(x)>0 . Далее введем вспомогательную функцию ϕ(x)=1d−f(x) . ϕ(x) на [a;b] положительна и непрерывна (как отношение двух непрерывных на [a;b] функций и d−f(x)/=0) , поэтому по первой Т. Вейерштрасса ϕ(x) на [a;b] ограничена.  Это означает, что при некотором М>0 (∀x∈[a;b])(0<1d−f(x)≤M) , отсюда имеем f(x)≤d−1M<d .  Полученное неравенство противоречит тому, что d является верхней гранью функции f(x) на [a;b], т.е. наименьшим из верхних границ. Полученное противоречие и означает существование точки x2 такой, чтоf(x2)=d.

Аналогично доказывается существование точки x1∈[a;b] , такой что f(x1)=c.

Теорема Больцано-Коши:

Если функция y=F(x) непрерывна на отрезке *a,b+, причем F(a)=A, F(b)=B

и C – любое число между A и B, то на отрезке *a,b+ найдется точка ξ такая, что F(ξ)=C.

Доказательство: В случаях A=B, C=A, C=B справедливость очевидна, т.к. ξ=a=b. Пусть A<C<B.

Рассмотрим функцию F(x)=F(x)-C. На концах отрезка функция принимает значения разных знаков

F(a)<0, F(b)>0, кроме того функция F(x) непрерывна на отрезке как разность двух непрерывных

функций. Поэтому существует такая точка ξЄ(a,b), в которой F(ξ)=0, поэтому F(ξ)=C.