Ответы на билеты для экзамена по математике (1 семестр) / БИЛЕТ 12

Билет № 12

1. Определения смешанного произведения трех векторов. Доказать, что абсолютная велечина |(a,b,c)| равна объему параллелепипеда построенного на векторах a,b и с .

Определение 4.4. Если векторное произведение умножить скалярно на вектор , то число называется смешанным произведением векторов и .

Теорема 4.6. Смешанное произведение равно объёму параллелепипеда, построенного на приведенных к общему началу векторах и , взятому со знаком плюс, если тройка векторов правая, и со знаком минус, если тройка левая. Если же перемножаемые вектора компланарны, то их смешанное произведение ровно нулю.

Доказательство. Тривиальный случай коллинеарности векторов и исключим, так как векторное произведение коллинеарных векторов равно нулю. Тогда, используя выражение (4.19), можно произвести следующее преобразование (4.20)

(Знак + берем в случае, если тройка векторов правая).

Если же вектора и компланарны, то вектор лежит в плоскости векторов и , следовательно и .

Теорема доказана.

Следствие 1. Справедливо равенство

(4.21)

Объём параллелепипеда не зависит от того, какая пара векторов из тройки перемножается векторно. Знак произведения не изменяется, так как сохраняется порядок векторов и ориентация тройки векторов.

Следствие 2. Необходимым и достаточным условием компланарности трех векторов является равенство нулю их смешанного произведения.

2. Производные высших порядков. Формула Лейбница.

Производная сложной функции

Пусть x=x(t)- функция, дифференцируемая в точке , y=f(x) - функция, дифференцируемая в точке , причем =x() . Тогда y=f(x(t)) - сложная функция независимого переменного t, дифференцируема в точке  и ее производная в этой точке вычисляется по формуле .

Обычно f называют внешней функцией, а x - внутренней. При вычислении производной сложной функции сначала дифференцируют внешнюю функцию, не обращая внимания на внутреннюю (ведь она может быть любой), затем умножают на производную конкретной внутренней функции.

Пример производной сложной функции

Найти производную функции y=(2x³+5)⁴. Решение: Обозначим 2x³ + 5 = u ; тогда y = u⁴. По правилу дифференцирования сложной функции имеем: y' = (u⁴)'_u (2x³+5)'_x = 4u³(6x²) = 24x²(2x³ + 5)³ .

Логарифмической производной функции y=f(x) называется производная от логарифма этой функции:

(ln y)' = y'/y. Её применение значительно упрощает вычисление производных некоторых функций (например, сложнопоказательных).

Пример. Вычислить производную функции

пользуясь формулой, вытекающей из правила дифференцирования сложной функции:

Решение.

Логарифмируя левую и правую части, получим ln y = 1/7 sin 4x + 2/7 ln(x³ + 6x-1) - 4/7 ln(x⁴ – 5x² + 3),

дифференцируем обе части:

откуда получаем:

Определение: Производной от функции называется конечный предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю: или

Пр-я от неявно: Пусть уравнение определяет y как неявную функцию от х.

а) продифференцируем по х обе части уравнения , получим уравнение первой степени относительно y’;

б) из полученного уравнения выразим y’.

Пример

Пр-я от параметрически: Пусть функция задана параметрическими уравнениями , тогда или

Пример