ЛА и АГ (1 семестр) / Шпора 17

17. Определение смешанного произведения трёх геометрических векторов. Алгебраические свойства смешанного произведения. Признак компланарности трёх векторов. Вывод формулы смешанного произведения трёх векторов, заданных своими координатами в прямоугольной декартовой системе координат (ортонормированный базис i,j,k). Нахождение объёма тетраэдра.

Смешанным произведением векторов наз. векторно-скалярное произведение, являющееся числом: a*b*c=[a*b]*c=a*[b*c], где

a={a_x,a_y,a_z}

b={b_x,b_y,b_z}

c={c_x,c_y,c_z}

Св-ва: 1. При перестановке 2х сомножителей:

a*b*c=-b*c*a

2. не меняется при перестановке циклических сомножителей:

a*b*c=c*a*b=b*c*a

3.а)(Геометрич. смысл) необходимым и достаточным условием компланарности 3х векторов явл. равенство a*b*c=0

б)если некомпланарные вектора a,b,c привести к 1 началу, то |a*b*c|=Vпараллепипеда, построенного на этих векторах

если a*b*c>0, то тройка a,b,c - правая

если a*b*c<0, то тройка a,b,c - левая

Определение. Смешанным произведением векторов , и называется число, равное скалярному произведению вектора на вектор, равный векторному произведению векторов и .

Обозначается или (, ,).

Смешанное произведение по модулю равно объему параллелепипеда, построенного на векторах Свойства смешанного произведения:

1)Смешанное произведение равно нулю, если:

а)хоть один из векторов равен нулю;

б)два из векторов коллинеарны;

в)векторы компланарны.

2)

3)

4)

5) Объем треугольной пирамиды, образованной векторами , и , равен

6)Если , , то

Определение. Векторы называются компланарными, если существует плоскость, которой они параллельны.

Векторы компланарны когда определитель, составленный из их координат равен 0.

Vпир = 1/6 /* (a,b,c)