ЛА и АГ (1 семестр) / Шпора 9

9. Определение базиса и размерности линейного пространства. Базисы в пространствах геометрических векторов (размерности 1, 2 и 3). Ортонормированный канонический базис. Единственность разложения вектора по базису в произвольном пространстве. Определение координат вектора в базисе.

Определение.

1) Базисом в пространстве называются любые 3 некомпланарных вектора, взятые в определенном порядке.

2) Базисом на плоскости называются любые 2 неколлинеарные векторы, взятые в определенном порядке.

3)Базисом на прямой называется любой ненулевой вектор.

Определение. Если - базис в пространстве и , то числа ,  и  - называются компонентами или координатами вектора в этом базисе.

В связи с этим можно записать следующие свойства:

равные векторы имеют одинаковые координаты,

при умножении вектора на число его компоненты тоже умножаются на это число,

= .

при сложении векторов складываются их соответствующие компоненты.

; ;

+ = .

Ортонормированный канонический базис - совокупность линейно-независимых едничных векторов в n-мерном пространстве Определение. Базис называется ортонормированным, если его векторы попарно ортогональны и равны единице.

Координатами (или компонентами) вектора a в базисе называются коэффициенты разложения вектора a по векторам базиса.        

Для указания, что вектор a имеет координаты , мы будем использовать запись .

Очевидно, что в фиксированном базисе каждый вектор имеет свой, единственный, набор координат. Если же взять другой базис, то координаты вектора в общем случае изменятся.

Сложение векторов и умножение их на число связаны с аналогичными действиями с их координатами. Доказательство соответствующих предложений для простоты записи проведем для случая двумерного пространства.