17. Определение векторного поля. Поле градиента. Потенциальные поля, условия потенциальности.

Векторное поле. Если каждой точке М некоторой области V пространства соответствует значение некоторой векторной величины (M), то говорят, что в области V задано векторное поле (M). Примеры векторных полей – поле тяготения, поля электрической и магнитной напряжённостей, поле скоростей частиц движущейся жидкости.

Если в некоторой декартовой системе координат вектор (M) имеет координаты Р(M), Q(M), R(M), то . Таким образом, задание векторного поля (M) эквивалентно заданию трёх скалярных полей Р(M), Q(M), R(M). Будем называть векторное поле гладким, если его координатные функции - гладкие скалярные поля.

Градиентом дифференцируемого скалярного поля u(M)=u(x,y,z) называется вектор . Т.е. сумма частных производных умноженных на соответствующие единичные вектора.

В общем случае градиент вводится как векторная характеристика скалярного поля — то есть области, каждой точке которой соответствует значение определенного скаляра. Градиент характеризует, насколько быстро меняется скалярная величина в том или ином месте этого поля.

Потенциальные векторные поля. Векторное поле A = {Ax, Ay, Az} называется потенциальным, если вектор А является градиентом некоторой скалярной функции u = u(x, y, z): A = grad u =   (16.7).

При этом функция u называется потенциалом данного векторного поля.

Выясним, при каких условиях векторное поле является потенциальным. Так как из (16.7) следует, что , То,=,=. так как смешанная производная второго порядка не зависит от порядка дифференцирования. Из этих равенств легко получаем, что   rot A = 0 -условие потенциальности векторного поля.

Ротором векторного поля (M) в точке называется векторная величина (векторное поле):. Если выразитьчерез оператор Гамильтона набла:равен векторному произведению. Действительно,.

18. Поток векторного поля через поверхность. Определение дивергенции векторного поля и её свойства. Вычисление дивергенции в декартовых координатах.

Поток векторного поля через поверхность. Пусть в области D задано непрерывное векторное поле ,. Возьмем в этом векторном поле некоторую поверхностьS и выберем ее определенную сторону. Пусть – поле единичных нормалей к поверхности, соответствующее выбранной стороне. Тогда поверхностный интеграл 2-ого рода (т.к. )называется потоком вектора A через поверхность S в указанную сторону.

Пусть . Формула Гаусса-Остроградского:

Левую часть можно записать так: ,,. Следовательно:, так как. Это поток вектора через замкнутую поверхность. Правую часть можно записать какдивергенцию (расходимость): .

Дивергенцией векторного поля A в точке MÎV называется производная функции по объему в этой точке:. Дивергенцию можно записать и с помощью оператора Набла: .Дивергенция в декартовых координатах: .

Свойства дивергенции:

• .

• .

Другие свойства (на лекции не разбирали, на усмотрение сдающего):

• Если u – скалярное поле, а F – векторное: .

• Свойство, связывающее векторные поля F и G, заданные в трёхмерном пространстве, с ротором: .

• Дивергенция от ротора равна нулю: .

19. Соленоидальные векторные поля, условия соленоидальности.

Пусть в некоторой области D задано непрерывное векторное поле (M)=(x,y,z). Потоком векторного поля через ориентированную кусочно-гладкую поверхность S, расположенную в области D, называется интеграл , где –единичный вектор нормали к поверхности S, указывающий на ее ориентацию, а –элемент площади поверхности S.

Векторное поле называетсясоленоидальным в области D, если поток этого поля через любую кусочно-гладкую несамопересекающуюся поверхность, расположенную в D и представляющую собой границу некоторой ограниченной подобласти области D, равен нулю.

Если дивергенция равна нулю, то есть , то поле вектораназываетсясоленоидальным.

, поэтому поток везде, на каждом сечении трубки, одинаков.

Для того чтобы непрерывно дифференцируемое векторное поле былосоленоидальным в объемно-односвязной области D, необходимо и достаточно, чтобы во всех точках D выполнялось равенство . Где дивергенцией (“расходимость”) векторного поляназывается скалярная функция