13. Теорема Гаусса-Остроградского, её запись в координатной и векторной (инвариантной) формах.

В координатной форме. Рассмотрим тело (V) в пространстве с ограничивающей поверхностью (S).

Рассмотрим некую функцию R(x,y,z), заданную в области (V) и на границе, непрерывную в этой области и на границе вместе со своими частными производными первого порядка. Рассмотрим интеграл . Спроецируем тело на областьD. Возьмём точку (x,y).

Сделаем то же самое, но с проекцией на оси y и z.

Теперь спроектируем на оси x и z.

Складывая эти формулы, получаем формулу Остроградского-Гаусса: . Формула сводит интеграл от объёма к интегралу по границе.

Если иилииилии, тогда. А если,и, то:.

В общем виде теорема звучит так. Пусть в замкнутой ограниченной области (V) заданы функции P(x,y,z), Q(x,y,z) и R(x,y,z), непрерывные на (V) вместе со своими частными производными первого порядка. Тогда имеет место следующее тождество: .

Запись формулы в векторном виде. Пусть . В обычном виде формула выглядит так:

Левую часть можно записать так: ,,. Следовательно:, так как. Мы получилипоток вектора через замкнутую поверхность. Правую часть можно записать как дивергенцию (расходимость): . В итогеформула Гаусса-Остроградского в векторном виде: . Читается так: поток вектора через замкнутую поверхность равен интегралу по объёму от его дивергенции.

Дивергенцией векторного поля A в точке MÎV называется производная функции по объему в этой точке:.

14. Теорема Стокса, её запись в координатной и векторной (инвариантной) формах.

. {ф. Грина}=

=

. Аналогично c,c.

Теорема: Пусть в некоторой окрестности поверхности S функции Р(х, у, z), Q(x, у, z) и R(x, у, z) непрерывны и имеют непрерывные частные, производные первого порядка. Тогда имеет место следующее соотношение:

. (Формула Стокса).

.

Инвариантная запись формулы Стокса: Используя выражение для в ортогональном базисе ,:

. Укажем на поверхности S определенную сторону, т.е. укажем непрерывное поле единичных нормалей . Используя стандартное обозначениеcosx, cosy, cosдля координат единичного вектора нормалик поверхностиS получим: . Из соотношения видно, левая часть формулы Стокса может быть записана в виде. Скалярное произведение:и элемент площадиповерхности S не зависят от выбора декартовой прямоугольной системы координат в пространстве, и при переходе к новому ортогональному базису',левая часть формулы не изменит своего значения и формы –инвариантна.

Рассмотрим . Пусть– единичный вектор касательной в точках границы L поверхности S, cosa, cosb, cos– координаты этого вектора.,. Т.о– циркуляция векторного поля p по кривой L. -инвариант. Получаем =.

15. Условия того, что криволинейный интеграл в пространстве не зависит от пути интегрирования.

Следствие из теоремы Стокса: Необходимым условием того, что криволинейный интеграл не зависит от пути интегрирования, является условие:,,.

16. Скалярное поле. Градиент скалярного поля и его свойства. Вычисление градиента в декартовых координатах.

Пусть D – область на плоскости или в пространстве. Говорят, что в D задано скалярное поле, если каждой точке области D ставится в соответствие некая функция U(M).

Определение по-другому. Скалярное поле определяется скалярной функцией точки , гдеM(x,y,z) – точка пространства, – её радиус-вектор.

Определение градиента. Градиентом скалярной функции u(M), определенной и дифф в некоторой области D, называется вектор .. Знак - этовектор Набла.

(– единичный вектор с координатами:).

Из последнего выражения видно, что максимально, когдасовпадает с направлением градиента. Следовательно, градиент показывает направление наибольшего изменения скорости функции.

Градиент скалярного поля – вектор.

Свойства градиента:

• 

• 

• 

• 

• 

• 

•