40. Апроксимація статечними поліномами і кусково-лінійна
Вона заснована
на використанні добре відомих з курсу
вищої математики рядів Тейлора і
Маклорена і полягає в розкладанні
нелінійної ВАХ
в
нескінченновимірних ряд, що сходиться
в деякій околиці робочої точки
.
Оскільки такий
ряд фізично не реалізуємо, доводиться
обмежувати число членів ряду, виходячи
з необхідної точності. Степенева
апроксимація застосовується при
відносно малій зміні амплітуди впливу
щодо
.
Розглянемо типову форму ВАХ будь-якого
НЕ (рис. 1).
Напруга
визначає положення робочої точки і,
отже, статичний режим роботи НЕ.
Рис.
1. Приклад типової ВАХ НЕ
Зазвичай
апроксимується не вся характеристика
НЕ, а лише робоча область, розмір якої
визначається амплітудою вхідного
сигналу, а становище на характеристиці
- величиною постійного зміщення
.
Апроксимуючої поліном записується у
вигляді
,
(2)
де коефіцієнти
визначаються
виразами
.
Апроксимація статечним поліномом
полягає в знаходженні коефіцієнтів
ряду
.
При заданій формі ВАХ ці коефіцієнти
істотно залежать від вибору робочої
точки
,
А також від ширини використовуваного
ділянки характеристики. У зв'язку з цим
доцільно розглянути деякі найбільш
типові і важливі для практики випадки.
1. Робоча точка розташована на
середині лінійної дільниці (рис. 2).
Рис.
2. Робоча точка ВАХ - на середині лінійної
дільниці
Ділянка на характеристиці,
де закон зміни струму близький до
лінійного, щодо неширокий, тому амплітуда
вхідної напруги
не
повинна виходити за межі
цієї ділянки. У цьому випадку можна
записати:
,
(3)
де
-
Струм спокою;
;
-
Диференційна крутість характеристики.
Цей випадок
застосуємо тільки при слабкому сигналі
,
Оскільки в цьому випадку можна без
великої похибки знехтувати нелінійністю
ВАХ.
2. Робоча точка розташована на
початковому ділянці характеристики.
Рис. 3. Робоча точка ВАХ - на початковому ділянці характеристики
При невеликій
зміні амплітуди вхідного сигналу щодо
можна
з малою похибкою апроксимувати ВАХ
квадратичної параболою (статечним
поліномом другого порядку). Апроксимує
вираз матиме вигляд
(4)
Як і у виразі (6.6),
-
Струм спокою (постійна складова вихідного
струму);
-
Крутизна характеристики в точці
.
Для визначення значень
і
необхідно
скласти систему рівнянь:
(5)
Звідси можна записати:
3.
Робоча точка є точкою перегину
характеристики (рис. 4).
Рис. 4. Робоча точка ВАХ - точка перегину
У точці перегину
всі парні похідні функції
звертаються
в нуль, тому у виразі (3) будуть присутні
тільки доданки з непарними ступенями
,
K
= 1, 2, 3, ....
Нагадаємо, що точка перегину
- точка кривої, у якій:
1) увігнутість
(опуклість) кривої змінюється на
опуклість (увігнутість);
2) крива
"лежить" по різні боки від дотичної
в цій точці.
У загальному випадку
апроксимуючої поліном може бути
будь-якого, скільки завгодно високого
порядку. Однак у більшості практичних
випадків достатню для інженерної
практики точність дає поліном третього
ступеня:
(6)
На малюнку 4 графік, відповідний
(6), показаний пунктирною лінією. Робоча
ділянка ВАХ (динамічний діапазон)
визначається інтервалом
.
На кордонах цього інтервалу похідні
апроксимуючої функції звертаються в
нуль. Для знаходження коефіцієнтів
і
необхідно,
як і в попередньому випадку, скласти
систему рівнянь і вирішити її відносно
і
:
(7)
Звідки
При
дуже великих амплітудах вхідного
сигналу часто буває зручніше замінювати
реальну характеристику ідеалізованої,
складеної з відрізків прямих ліній.
Таке уявлення ВАХ називається
кусково-лінійною апроксимацією. На
малюнку 5 показані деякі характерні
приклади.
а
б в
Рис. 5. Кусково-лінійна апроксимація ВАХ