Ейлерові цикли

Ейлеровим циклом у зв’язному неорієнтованому мультиграфі називають простий цикл (усі його ребра різні), утворений всіма ребрами графа.

Граф, який має ейлерів цикл, називається ейлеровим.

Ейлеровим ланцюгом (ще кажуть: ейлеровим шляхом) у зв’язному неорієнтованому мультиграфі називають простий ланцюг (усі його ребра різні), утворений всіма ребрами графа.

В ейлерових циклі й ланцюгу ребра мають бути різними, але вершини можуть повторюватися. Ейлерів цикл можна намалювати, не відриваючи ручки від паперу, причому малювання починається і закінчується в тій самій точці. Ейлерів ланцюг теж можна намалювати не відриваючи ручки, але при цьому початок буде в одній вершині, а кінець в іншій.

Приклад. Серед поданих нижче графів перший граф має ейлерів цикл (або цикл , якщо в іншому порядку обійти вершини графа; або можна вибрати іншу початкову вершину і побудувати інший простий цикл), другий має ейлерів ланцюг , а третій не має ні ейлерового ланцюга, ні ейлерового циклу.

Теорема 1. Зв’язний неорієнтований мультиграф має ейлерів цикл тоді і тільки тоді, коли степені всіх його вершин парні.

Доведення. При доведенні необхідності треба показати, що в ейлеровому графі кожна вершина має парний степінь. Нехай у графі є ейлерів цикл. Тоді він входить і виходить з кожної вершини. Отже, кожна вершина інцидентна парній кількості ребер. При перевірці достатності треба показати, що якщо степені вершин парні, то граф має ейлерів цикл. Перевірка достатності теореми є конструктивною і дає алгоритм побудови ейлерового циклу в графі, який розглянемо нижче.

Алгоритм побудови ейлерового циклу. Нехай дано зв’язний граф G з парними степенями вершин. Обхід графа почнемо з будь-якої вершини і виберемо будь-яке ще не пройдене ребро ; далі виберемо будь-яке не пройдене ребро, інцидентне вершині (таке ребро обов’язково існує: увійшовши в будь-яку вершину, яка має парний степінь, завжди можна вийти з неї через ще не пройдене ребро), і т.д. Побудова циклу закінчиться у вершині . Якщо побудований цикл містить всі ребра, то маємо ейлерів цикл; якщо не всі, то вилучаємо з графа всі ребра побудованого циклу і всі вершини, які стали ізольованими. Оскільки граф G зв’язний, то цикл і граф G мають принаймні одну спільну вершину . Із цієї вершини побудуємо цикл і вставимо його в цикл замість вершини . Якщо побудований цикл містить всі ребра, то маємо ейлерів цикл; якщо не всі, то вилучаємо з графа всі ребра циклу і всі вершини, які стали ізольованими, і т.д.

Приклад. Для розглянутого вище графа, використовуючи наведений алгоритм, побудуємо ейлерів цикл. Відповідно до теореми ейлерів цикл побудувати можна, бо всі вершини графа мають парні степені. Починаючи з вершини а, побудуємо, наприклад, цикл . Цей цикл не містить всіх ребер графа. Тому вилучимо ребра, які ввійшли в граф, а потім вилучимо вершини, які стали ізольованими:

Побудований цикл і частина графа, яка залишилася мають спільну вершину b. Із цієї вершини побудуємо цикл і вставимо його замість вершини b в цикл і одержимо цикл:

який містить всі ребра графа і ребра не повторюються, а, отже, цей цикл є ейлеровим.

Теорема 2. Зв’язний неорієнтований мультиграф має ейлерів ланцюг, але не має ейлерового циклу тоді і тільки тоді, коли він має рівно дві вершини непарного степеня.

В ейлеровому ланцюгу одна з вершин з непарними степенями буде початком, а інша кінцем цього ланцюга.

П риклад (задача про сім кенігсберзьких мостів). У місті Кенігсберг на річці Преголь було два острови, до яких з двох берегів було збудовано мости:

Чи можна, починаючи з певного берега, пройти всі мости по одному разу й повернутися на той самий берег? Чи можна пройти всі мости по одному разу, якщо не обов’язково повертатися в початкову точку?

Р озв’язання. За поданою схемою побудуємо мультиграф:

У цьому мультиграфі вершини мають такі степені: А — 3, В — 5, С — 3, D — 3, тобто є чотири вершини з непарними степенями. Отже, відповідно до наведених вище теорем у цьому мультиграфі не можна побудувати ні ейлерів цикл, ні ейлерів ланцюг. Тому пройти всі мости по одному разу не можна.

Приклад. Чи можна в зображеній на малюнку “будівлі” пройти через усі “двері” по одному разу?

Розв’язання. У відповідність зображеній будівлі поставимо граф, вершинами якого є “подвір’я” А і “кімнати” B, C, D, E, F, а ребрами — “двері”:

Щоб можна було через кожні “двері” пройти по одному разу, треба, щоб усі ребра графа утворили ейлерів ланцюг. Оскільки вершини графа відповідно мають степені: А — 5, В — 4, С — 4, D — 3, E — 5, F — 3, тобто чотири вершини мають непарний степінь, то відповідно до теореми 2, граф не має ейлерового ланцюга, отже, пройти через усі “двері” по одному разу не можна.

Ейлеровим циклом у слабо зв’язному орієнтованому мультиграфі називають контур, який містить усі ребра графа.

Теорема. Орієнтований слабо зв’язний мультиграф має ейлерів цикл тоді і тільки тоді, коли в кожну вершину входить і виходить однакова кількість дуг, тобто кожна вершина є рівновісною.