Шляхи і ланцюги, контури і цикли

Оскільки графи бувають орієнтовані й неорієнтовані, то при вивченні й дослідженні цих графів використовуються поняття, які мають дуже близьке значення, але називаються по-різному. Так, з орієнтованими графами пов’язані такі поняття, як дуга, шлях, контур, а з неорієнтованими відповідно — ребро, ланцюг, цикл.

Шляхом в орієнтованому графі називається послідовність дуг , , …, , в якій початок кожної наступної дуги є кінцем попередньої дуги. Шлях називається простим, якщо в нього кожна дуга входить не більше одного разу. Якщо в шляху дуги повторюються, то шлях називається складними. Якщо в шляху жодна вершина не повторюється, то шлях називається елементарним. Шлях може бути скінченним чи нескінченним.

Якщо , , …, , то дана послідовність дуг задає шлях з вершини у вершину . При цьому вершина називається початком шляху, а вершина  — кінцем шляху, решта вершин, які входять у шлях, називаються проміжними. Кількість l дуг, які утворюють шлях, називається довжиною шляху. Такий шлях ще називають l-кроковим. Шлях нульової довжини містить одну вершину. Мінімальну довжину може мати тільки елементарний шлях із однієї вершини в іншу. Коли розглядають шлях, то також кажуть, що шлях проходить через вершини , , …, по ребрах , , …, . Через це шлях можна подати і як послідовність вершин або записати . Часом шлях записують так: .

Приклад. Нехай дано орієнтований граф:

У цьому графі шляхи , , , , є шляхами із вершини а у вершину f (вершина а є початком, а вершина f — кінцем). Шляхи відповідно мають довжини 2, 3, 6, 7 і 5. Шляхи A і B є простими й елементарними; шляхи C і D прості, але не елементарні, бо шлях C двічі проходить через вершину с, а шлях D через вершини b і с; шлях E складний, бо дуга в ньому повторюється двічі.

Ланцюгом (ще кажуть: неорієнтованим шляхом) в неорієнтованому графі називається послідовність ребер, у якій кожне ребро має спільну вершину з попереднім і наступним ребром і ці спільні вершини різні. Ланцюг називається простим, якщо всі його ребра різні; складним — у протилежному випадку. Якщо вершини не повторюються, то ланцюг називається елементарним. У ланцюгу напрямок не враховується. Довжина ланцюга дорівнює кількості ребер, які утворюють ланцюг. Ланцюг нульової довжини містить одну вершину. Відстанню між вершинами і є мінімальна довжина ланцюга між цими вершинами.

Приклад. Нехай дано неорієнтований граф:

У цьому графі можна побудувати, наприклад, такі ланцюги: , , , , , , які відповідно мають довжини 1, 4, 6, 6, 3 і 5. Ланцюги A, B, E є простими елементарними, C, F — простими, але не елементарними, бо вершина b повторюється, ланцюг D складний, бо ребро повторюється.

Будь-якому орієнтованому графу можна поставити у відповідність співвіднесений неорієнтований граф, якщо вважати, що пари вершин , які задають дуги, не впорядковані:

Тому ланцюги можна розглядати і в орієнтованому графі, якщо не враховувати напрямку дуг, тобто розглядати його співвіднесений граф. У загальному можна сказати, що будь-який шлях є ланцюгом; але зворотне твердження справедливе тільки для неорієнтованих графів.

Якщо граф містить n вершин, то між двома його різними вершинами елементарні ланцюги (шляхи) можуть мати довжину 1, 2, …, , тобто бути одно-, дво-, …, -кроковими.

Для будь-якого неорієнтованого чи орієнтованого графа, який не має кратних ребер і петель, матриця суміжності В (у такому випадку вона є матрицею бінарного відношення і містить лише 1 і 0) описує всі однокрокові елементарні ланцюги (шляхи) між двома різними вершинами, матриця , яка є другим булевим степенем матриці В, — двокрокові, …, матриця — -крокові. Діагональні елементи таких матриць характеризують (відображають, ідентифікують ) наявність циклів (контурів) відповідної довжини.

► Приклад. За допомогою матриці суміжності з’ясувати, чи існують елементарні дво- і трикрокові шляхи із вершини а у вершину d у графі:

Розв’язання. Для заданого орієнтованого графа побудуємо матрицю суміжності:

і знайдемо її другий і третій степені:

, .

Оскільки в одержаних булевих степенях матриці суміжності елементи , , то із вершини а у вершину d елементарного двокрокового шляху немає, а трикроковий є. ◄

Контуром (ще кажуть: орієнтованим циклом) в орієнтованому графі називається скінченний шлях, у якому початок і кінець збігаються. Контур називається простим, якщо його дуги різні, складним, якщо є хоч би дві однакові дуги. Контур називається елементарним, якщо всі його вершини різні (за винятком початкової і кінцевої, які збігаються). Довжиною контура є кількість його дуг. Якщо довжина контура дорівнює 1, то такий контур утворено петлею.

Приклад. Нехай дано орієнтований граф:

У ньому можна утворити, наприклад, такі контури: , , , , , , які відповідно мають довжини 1, 3, 4, 6, 2, 6. Елементарними є контури А, В, С, Е; контур D є простим, але не елементарним, бо вершини b і с в нього входять по 2 рази, контур F є складним, бо в ньому ребро повторюється.

Нумерація вершин і дуг у контурі не фіксується. Тому різних нумерацій є стільки, скільки є можливих початків відліку, тобто, скільки є вершин чи дуг у контурі.

Циклом у неорієнтованому графі називається скінченний ланцюг, у якого початок і кінець збігаються. Цикл називається простим, якщо його ребра різні, складним, якщо є хоч би два однакові ребра. Якщо в циклі жодна вершина не повторюється (за винятком початкової і кінцевої, які збігаються), то цикл називається елементарним. У циклі кількість можливих нумерацій вдвічі більша, ніж у контурі, оскільки можна вибрати і початок нумерації, і напрямок.

Будь-який граф без циклів називається ациклічним.

Серед графів виділяють графи-цикли. Графом-циклом (при ) називається граф із множиною вершин і множиною ребер . Графи-цикли з n вершинами позначають

Елементарні шлях, ланцюг, контур і цикл є деякими підграфами графа, в якому кожен з них утворюється.

Можна сформулювати твердження, які стосуються неорієнтованих графів.

Твердження 1. Будь-який ланцюг містить елементарний підланцюг з тими ж кінцями.

Твердження 2. Простий, але неелементарний ланцюг містить елементарний ланцюг.

Ці твердження випливають з того, що в неелементарний ланцюг певна вершина входить хоч би двічі і частина ланцюга між цими двома входженнями даної вершини є циклом.

Твердження 3. Простий цикл, який проходить через певну вершину містить елементарний підцикл, який проходить через цю вершину.

Аналогічні твердження можна сформулювати для орієнтованого графа щодо шляху й контура.