46 Л.І. Ющук-Кублій. Дискретна математика

Теорія графів

У термінах теорії графів можна сформулювати багато задач пошуку оптимальних розв’язків, пов’язаних із дискретними об’єктами — це транспортні задачі, задачі складання розкладів, розподілу доходів, сіткові методи планування й управління та ін. Графом є мережа доріг між населеними пунктами, схема ліній метрополітену, електричний ланцюг, хімічна структура, генеалогічне дерево, графом можна подати бінарні відношення, відношення підпорядкованості в ієрархії, правила шахової гри тощо.

Первісно теорія графів була пов’язана з головоломками і до неї не ставилися серйозно, як і до теорії ймовірностей, яку спочатку пов’язували лише з азартними іграми. Першою роботою з теорії графів як математичної дисципліни була стаття Леонарда Ейлера про задачу обходу Кенігсберзьких мостів (1736), а термін “граф” вперше з’явився в книзі “Теорія скінченних і нескінченних графів” (1936) угорського математика Д. Кеніга, де графи розглянуто як абстрактні математичні об’єкти і де закладено основи загальної теорії графів. Інтенсивний розвиток теорії графів значною мірою зумовлений запитами практики — це в першу чергу дослідження проблеми чотирьох фарб, а також методом переміжних ланцюгів(???). Зараз теорія графів, як математична наука, є гілкою топології, вона тісно пов’язана з алгеброю і теорією чисел, комбінаторним аналізом, теорією ймовірностей, математичною логікою, математичним програмуванням і рядом інших розділів математики.

Поняття графа

Граф — це система об’єктів разом з деякими парами цих об’єктів, яка зображує відношення зв’язку між ними. Граф можна подати графічно (від цього походить його назва). Наприклад:

Формально граф можна визначити як систему , де і — множина точок, які називаються вершинами графа і є носієм графа; і , де — множина ліній зі стрілками (якщо пара вершин впорядкована) чи без них (якщо пара вершин не впорядкована), які з’єднують ці точки і називаються ребрами графа. При цьому може бути, що два елементи і задаються тією самою впорядкованою (якщо це має значення) парою . Між елементами множин V і U визначене відношення (функція) інцидентності , тобто зв’язок між двома елементами-вершинами і множини V через один елемент-ребро множини U.

П риклад. Поданий вище граф має 4 вершини , 6 ребер . При цьому між елементами множини вершин V і множини ребер U встановлено таке відношення інцидентності: , , , , , .

Вершини і називаються кінцями ребра . Ребро перебуває у відношенні інцидентності зі своїми кінцями (ребро інцидентне вершинам і , а вершини і інцидентні ребру ). Дві вершини, інцидентні одному ребру, називаються суміжними (ще кажуть: сусідніми). Суміжні вершини називають залежними, а несуміжні — незалежними. Вершина називається ізольованою, якщо вона не інцидентна жодному ребру. Вершина називається висячою (ще кажуть: кінцевою), якщо вона інцидентна лише одному ребру. Два ребра, інцидентні тій самій вершині (незалежно від того, є вершина початком чи кінцем кожного з ребер), називаються суміжними¹.

Множину ребер, інцидентних вершині , позначають . Кількість ребер графа, інцидентних вершині , називається степенем вершини . Ізольована вершина має степінь 0, а висяча — степінь 1. Сума степенів усіх вершин будь-якого графа вдвічі більша за кількість його ребер. У будь-якому графі кількість вершин непарного степеня є парною. Граф називається однорідним степеня k, якщо степінь кожної його вершини дорівнює k.

Приклад. Кінцями ребра є вершини а і b; ребро інцидентне вершинам а і b; ребра , , , , , інцидентні вершині а, є суміжними; вершини а і b, інцидентні ребру , є суміжними; вершина а має степінь 5, а вершина b — степінь 1.

Нехай і . Якщо , то ребро називається дугою (ще кажуть: орієнтованим ребром) і воно виходить з вершини і входить у вершину ; при цьому вершину називають початком, а вершину кінцем дуги . Отже, дуга задається впорядкованою парою вершин . Графічно дуги позначають стрілками:

Якщо , то ребро називається неорієнтованим (ще кажуть: ланкою). Неорієнтовані ребра графічно позначають лініями без стрілок:

Граф називається неорієнтованим, якщо всі його ребра неорієнтовані. Граф називається орієнтованим (ще кажуть: орграфом), якщо всі його ребра орієнтовані (тобто є дугами). Будь-якому неорієнтованому графові можна поставити у відповідність єдиний орієнтований граф: кожне неорієнтоване ребро подати парою дуг, які мають зворотні напрямки й інцидентні вершинам цього ребра:

Таку відповідність між неорієнтованим і орієнтованим графами називають канонічною.

Якщо граф має дуги (орієнтовані ребра) і ребра (неорієнтовані ребра), то він називається змішаним графом.

Приклад. Запропоновану фон Нейманом структуру електронно-обчислювальної машини можна подати змішаним графом:

Вершинами цього графа є множина пристроїв , де а — пристрій введення, b — процесор, с — пристрій керування, d — пам’ять, е — пристрій виведення; ребра , , , є орієнтованими ребрами (дугами), , , , , — неорієнтованими ребрами.

Якщо неорієнтований однорідний граф степеня k має n вершин і m ребер, то ; якщо граф орієнтований, то .

В орієнтованому графі часом розглядають не просто степінь вершини , а розрізняють напівстепінь входу — кількість дуг, для яких вершина є кінцем, і напівстепінь виходу — кількість дуг, для яких вершина є початком. Якщо в вершину входить і виходить однакова кількість дуг, то вершина називається рівновісною.

Якщо кінці ребра збігаються, то таке ребро називається петлею:

Петля дає вершині степінь 2.

Різні ребра, яким поставлено у відповідність ту саму пару вершин, називаються кратними (ще кажуть: паралельними).

Неорієнтований граф, який має кратні ребра й петлі, називається псевдографом. Неорієнтований граф, який має кратні ребра, але не має петель, називається мультиграфом. Граф із скінченною кількістю вершин і ребер без кратних ребер і петель називають простим (ще кажуть: звичайним) графом. Орієнтований граф, який має кратні дуги, а також може мати петлі, називається орієнтованим мультиграфом. Простий орієнтований граф може мати петлі, але він не має кратних дуг.

Множина називається множиною елементів графа. За кількістю елементів цієї множини графи можуть бути скінченними і нескінченними. При скінченній кількості вершин граф може бути нескінченним за рахунок нескінченної кількості кратних ребер. Кількість вершин графа називається його порядком.

Множина ребер U може бути порожньою; такий граф називають нуль-графом і позначається (йому відповідає порожнє бінарне відношення). Якщо множина вершин V порожня, то буде порожньою і множина ребер U; такий граф називається порожнім ??????і позначається . Тривіальним називається граф, який має тільки одну вершину????? Неорієнтований граф без кратних ребер (а часом і без петель) називається повним, якщо кожна пара його вершин сполучається ребром. Повний простий неорієнтований граф з n вершинами без петель позначають :

В орієнтованому повному граф кожна пара вершин сполучається дугами і кожна вершина має петлю. Повному графу (орієнтованому чи неорієнтованому) з петлями відповідає повне бінарне відношення і . Якщо повний неорієнтований граф має n вершин, то кількість його ребер m (не враховуючи петель, яких є n) дорівнює кількості сполук із n елементів по 2: . Якщо в неорієнтованому графі без петель ребер буде більше, ніж , то цей граф є мультиграфом. Якщо повний орієнтований граф має n вершин, то без петель він буде мати вдвічі більше дуг, ніж неорієнтований граф має ребер, тобто дуг, а, якщо врахувати петлі, яких є n, то всіх дуг в орієнтованому графі буде .

Якщо орієнтований граф не має кратних дуг, то його можна визначити, використовуючи поняття бінарного відношення: орієнтованим графом називається множина із заданим на ній бінарним відношенням зв’язку . Множина графів, які відповідають відношенням, вужча від множини всіх графів, оскільки при заданні відношень не може бути кратних дуг.

Таким чином, між множиною орієнтованих графів без кратних дуг, заданих на множині вершин , і множиною бінарних відношень на множині V існує взаємно однозначна відповідність (бієкція). Аналогічно між неорієнтованими графами без кратних ребер, заданими на множині вершин , і множиною симетричних бінарних відношень на множині V теж існує взаємно однозначна відповідність.

У зв’язку з цим над графами, як і над бінарними відношеннями, можна виконувати певні операції.

Нехай Р — повний орієнтований граф із множиною вершин V і нехай між відношенням U і графом встановлено взаємно-однозначну відповідність, тобто граф є графом відношення U, також графи і є графами заданих на множині V відношень і . Тоді графи і відрізняються лише напрямками дуг; ; ; .

Об’єднанням двох простих неорієнтованих графів і при називається такий простий граф, що .

Два графи і називаються ізоморфними, якщо існують взаємно-однозначні відповідності між їхніми вершинами і ребрами такі, що відповідні ребра з’єднують відповідні вершини.

Ізоморфні графи мають однакову кількість вершин і ребер, їхні відповідні вершини мають однакові степені, ці графи відрізняються лише порядком нумерації вершин. Ізоморфізм графів є відношенням еквівалентності (рефлексивність — граф G ізоморфний сам собі; симетричність — якщо граф ізоморний графові , то і ізоморний ; транзитивність — якщо граф ізоморний графові , а граф ізоморний графові , то ізоморфний графові ), і тому вся множина графів розбивається на класи ізоморфних графів.

Приклад. Нижче подано групи ізоморфних графів:

а )

б )

в )

Якщо графи орієнтовані, то напрямки дуг в ізоморфних графах мають бути однаковими.

У більшості випадків можна не розрізняти ізоморфні графи, тобто розглядати їх з точністю до ізоморфізму. Проте встановлення ізоморфності двох графів навіть у випадку простих графів є досить складною задачею. Ще важчою є проблема ізоморфного входження — тобто з’ясування того, чи один із графів є ізоморфною частиною іншого.