Расширенный минимаксный критерий
Основное предположение:
каждому из n
возможных внешних состояний 
приписана вероятность его появления
,
0<
<l
Сформируем из n
вероятностей
вектор 
и конкретную реализацию вектора обозначим
как 
Обозначим через 
множество всех n-мерных
вероятностных векторов. В свою очередь
альтернатива 
,
может быть выбрана случайным образом
в распространением вероятностей
Выбор варианта при достаточно долгом применении приводит к среднему результату.
Если случайным
образом с распространения вероятностей
соответствующих 
смешать варианты решений
,
то в результате получим среднее значение.
В реальной ситуации
вектор Р, относящийся к состоянию
,
бывает как правило неизвестен.
Ориентируются применительно значению
на наименее выгодное распределение
вероятности состояния
и добиваясь с другой стороны максимального
увеличения
за счет выбора наиболее удачного
распределения q
вариантов решения
.
Получают в результате значение,
соответствующее расширенному минимаксному
критерию.
q – вероятностный вектор для x
p – для Y
Следовательно, расширенный минимаксный критерий определяет наивысшее распространение вероятностей на множестве вариантов , когда в многокритериальной воспроизводимой ситуации ничего неизвестно о вероятностях состояний .
Следовательно, предполагается, что распределены наименее выгодным образом.
Производные критерии
,
Данный критерий находится между точками зрения крайнего оптимума и крайнего пессимума.
Критерий предъявляет ситуации, которые удовлетворяют следующим требованиям:
О вероятностях появления ничего не известно
С появлением состояний необходимо считаться
Реализуется лишь малое количество решений
Допускается неконтролируемый риск.
Правило выбора:
Матрица решений дополняется столбцом, содержащим среднее значение наибольшего и наименьшего из результатов каждой строки.
Из дополнительного столбца выбираются варианты в строках, которые строят элементы этого столбца.
i \ |
1 |
2 |
3 |
|
|
|
1 |
1 |
0 |
-2 |
-0.5 |
-2 |
1 |
2 |
3 |
2 |
1 |
2 |
1 |
3 |
3 |
-4 |
5 |
4 |
0.5 |
-4 |
4 |
Критерий Ходжи-Лемана
,
Критерий Ходжи-Лемана отражает минимаксный критерий и критерий Байеса-Лапласа.
С помощью параметра
выражается доверие к
критерию
Байеса-Лапласа, если оно верно, то
акцентируется этот критерий, в противном
случае отдается предпочтение минимаксному
критерию.
Выбор 
подвержен
влиянию субъективизма, также не налагает
ограничения.
Критерий Ходжа-Лемана находит применение в следующих ситуациях:
Состояние появления неизвестно, но некоторое предположение о распределении вероятно возможно.
Принятое решение допускает значительное число реализаций.
При малых числах реализаций допускается риск.
Правило выбора:
Матрица решений дополняется столбцом из компонент, состоящих из средних взвешенных математических ожиданий и наименьшего результата каждой строки. Отображается тот вариант решений в строках, который имеет наибольшее значение этого столбца.
i \ |
1 |
2 |
3 |
|
|
|
1 |
1 |
-1 |
2 |
0.3 |
-1 |
-0.35 |
2 |
0 |
3 |
2 |
2.1 |
0 |
1.05 |
3 |
-3 |
1 |
5 |
1.4 |
-3 |
-0.8 |
|
||
0.2 |
0.5 |
0.3 |
Критерий Гермейера
Ориентирован на величины потерь, то есть на отрицательные значения всех элементов матрицы.
В случае, когда вступают и положительные значения, следует перейти к отрицательным значениям с помощью преобразования:
При подходящим образом подобранном a.
Результат решения зависит от а.
– результат появления – известно
– с появлением тех или иных значений надо считаться
– решение может реализовываться 1 или много раз
Если функция распределения не очень известна, а числа малы, то получают большой риск.
Правило выбора:
Предварительно контролируется фактическая отрицательность всех элементов. Матрица решений дополняется еще одним столбцом, содержащим в каждом столбце произведение каждого результата на состояние . Выбираются те варианты в строках, в которых наибольшее значение этого столбца.
Составные критерии
Байеса-Лапласа (минимаксный)
Рассмотрим так называемые составные критерии.
равен вероятности появления внешнего
проявления
Зафиксируем исходное положение матрицы следующей формулой:
– оптимизированные индексы для
рассмотрения вариантов решений и
состояний.
Определим подмножество индексов.
Рассмотрим подмножество
.
Тогда во множестве
пересечений 
,
мы соберем только такие варианты решений,
для которых в определенном состоянии
могут иметь место потери по сравнению
с состоянием, задаваемом минимаксным
критерием, но зато в других состояниях
имеется по меньшей мере такой же прирост
выигрыша.
Применение этого критерия обусловлено следующими признаками ситуации:
вероятности появления неизвестны, но имеется некоторая априорная информация в пользу априорного распределения
необходимо считаться с появлением различных состояний
допускаются ограничения риска
принятое решение реализуется один раз или многократно
субъективным считается задание границы риска
.
Правило выбора:
Матрица дополняется
тремя столбцами. В первом математическое
ожидание каждой из строк, во втором
разности между опорными значениями 
и наименьшим значением строки, в третьем
столбце разности между максимальным
значением
каждой строки и наибольшим значением
той строки, в которой находится значение
.
Выбираются те варианты, строки которых
при соблюдении заданных состояний между
элементами второго и третьего столбцов
дают наибольшее математическое ожидание,
то есть соответственное значение из
второго столбца должно быть меньше или
равно некоторого заранее заданного
уровня риска 
.
Значение j из третьего столбца должно быть больше значений из второго столбца.
Байеса-Лапласа (Сейджа)
За опорную величину принимаем значение:
Критерий произведений
Применение этого критерия обусловлено следующими обстоятельствами:
критерий применим при малом числе реализаций
все элементы должны быть больше нуля.
Если условия нарушены,
а критерий приходится применять, то
следует каждому элементу матрицы
прибавить 
такое, чтобы все элементы стали больше
нуля.
Правило выбора:
Матрица дополняется новым столбцом, содержащим произведение всех результатов каждой строки. Выбираются варианты, в строках которых содержатся значения этого столбца.
Принятие решений в условиях конфликтной неопределенности
Для учета влияния неконтролируемых факторов используются различные методы зависимости от степени информированности ЛПР о значениях этих факторов.
При этом принято выделять следующие 3 уровня информированности:
1) детерминированный – когда значение неконтролируемых факторов точно известны;
2) стохастический – когда известно лишь множество возможных значений неконтролируемых факторов и априорно вероятностное распределение на этом множестве;
3) неопределенный – когда известно одно только множество возможных значений неконтролируемых факторов, но вероятности этих значений неизвестны или даже не имеют смысла.
Задача принятия решений на первых двух уровнях производится с помощью методов линейного и нелинейного программирования, принципов оптимальности Понтрякина, Беллмана и теории случайных процессов.
При третьем уровне информированности применяются главным образом методы теории игр.
При решении многих практических задач, приходится анализировать ситуации, в которых сталкиваются две или более враждующие стороны, преследующие различные цели.
Причем результат любого мероприятия каждой из сторон зависит от того, какой образ действий выберет противник; такие ситуации называют конфликтными.
В математике теорией конфликтных ситуаций является теория игр. Таким образом, основным объектом изучения теории игр являются математические модели принятия оптимальных решений в условиях конфликта или неопределенности.
В игре могут сталкиваться интересы двух или более противников. В первом случае игра называется парной; во втором – множественной.
Пусть имеется парная игра, в которой участвуют два игрока6 игрок А и игрок В.
Чтобы игра могла быть подвергнута математическому анализу, должны быть сформулированы
1) возможные варианты действий игроков;
2) объем информации каждой стороны о поведении другой;
3) результат игры, к которому приводит каждая данная совокупность ходов.
Игра называется игрой с нулевой суммой, если один игрок выигрывает столько, сколько проигрывает второй.
Развитие игры во времени будем представлять состоящим из ряда последовательных этапов (ходов).
Ходом развития игры во времени мы будем представлять состоящим из ряда последовательных этапов или ходов.
Ходом в теории игр называется выбор одного из предусмотренных правилами игры действий и его осуществление.
Стратегией игрока называется совокупность правил, определяющих выбор вариантов действий при каждом личном ходе этого игрока, в зависимости от ситуации, сложившейся в процессе игры.
Игра называется конечной, если у каждого игрока имеется только конечное число стратегий; и бесконечной, если хотя бы у одного из игроков имеется бесконечное число стратегий.
Оптимальной стратегией игрока называется такая стратегия, которая при многократном повторении игры обеспечивает данному игроку максимально или минимально возможный средний выигрыш; при этом предполагается, что противник разумен и делает всё, чтобы помешать добиться цели.
Платежная матрица.
Рассмотрим игру, в которой игрок А имеет m стратегий, а игрок В – n стратегий.
Пусть
- выигрыш, определяющий исход игры, при
выборе стратегии i
игроком А, j
– игроком В.
Предположим, что нам известны значения , при каждой паре стратегий.
|
|
|
… |
|
… |
|
|
|
|
… |
|
… |
|
|
|
|
… |
|
… |
|
… |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
|
|
|
… |
|
… |
|
… |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
|
|
|
… |
|
… |
|
Такая матрица называется платежной матрицей игры.
Нижняя и верхняя цена игры.
Рассмотрим игры
с заданной платежной матрицей.
Буквой
будем обозначать номер нашей стратегии;
Буквой
- номер стратегии противника.
Поставим задачу
определить наилучшую из наших стратегий.
Найдем минимальное из чисел
в
-ой
строке и обозначим его
.
Выпишем числа
(т.е. минимумы строк) рядом с матрицей
справа – в виде добавочного столбца.
Лучшей стратегией при осторожных действиях будет та, для которой число максимально.
Величина
называется нижней ценой игры или
максимином,
т.е. при любой стратегии противника нам
гарантирован выигрыш не меньше, чем
.
Аналогичное рассуждение можно провести и за противника. Найдем максимальное из чисел:
И из этих чисел (
)
найдем минимальное, т.е.
Значение
есть верхняя цена игры или минимакс.
Пример.
|
|
|
|
|
|
-1 |
0 |
1 |
|
|
3 |
2 |
-3 |
|
|
-4 |
5 |
6 |
|
|
|
|
|
|
-1
-3
-4
3
5
6
Нижняя цена игры:
;
Верхняя цена игры:
.
Принцип осторожности, диктующий игрокам выбор соответствующей стратегии максимина или минимакса, является в теории игр основным и называется принципом минимакса.
Он вытекает из предположения о разумности каждого игрока, стремящегося достигнуть цели, противоположенной цели противника.
Существуют игры, для которых нижняя цена игры равна верхней, т.е.
Эти игры называются играми с седловой точкой.
Общее значение
нижней и верхней цены игры называется
чистой ценой
игры.
В матрице такой игры существует такой элемент, являющийся минимальным в своей строке и максимальным в своем столбце. Такой элемент называется седловой точкой.
Решение игры обладает следующим свойством:
Если один из игроков придерживается своей оптимальной стратегии, то для другого не может быть выгодным отклоняться от своей оптимальной стратегии.
Такое решение называется решением игры в чистых стратегиях.
В класс игр, имеющих седловую точку, входят игры с полной информацией, в которых каждый игрок при каждом ходе знает результаты предыдущих ходов.
В теории игр доказывается, что каждая игра с полной информацией имеет седловую точку и ,следовательно, решение в чистых стратегиях.
Доминирование.
Пусть дана платежная матрица А.
Будем говорить, что -ая строка доминирует -ую строку, если
для всех
и
по крайней мере для
одного
.
Аналогично будем
говорить, что
-ый
столбец доминирует
-ый
столбец, если
для всех
и
по крайней мере для
одного
.
Т.е. одна чистая стратегия, представленная своей строкой или столбцом доминирует другую чистую стратегию, если выбор доминирующей стратегии по крайней мере не хуже доминируемой стратегии, а в некоторых случаях – даже лучше.
Следовательно, игрок всегда может обойтись без доминируемых стратегий и использовать только недоминируемые стратегии. Это утверждение содержится в следующей приводимой без доказательства теореме.
Теорема.
Пусть дана матричная
игра А и пусть строки
матрицы А доминируются, тогда игрок 1
имеет такую оптимальную стратегию х,
что
.
Кроме того, любая оптимальная стратегия для игры, получающейся в результате удаления доминируемых строк, будет также оптимальной стратегией для первоначальной игры.
Аналогичная теорема справедлива и для доминируемых столбцов.
Общий результат этих теорем состоит в том, что все доминируемые строки и столбцы могут быть отброшены, а это позволяет иметь дело с матрицей меньшей размерности.
Пример.
Рассмотрим игру с платежной матрицей:
3х4
|
|
|
|
|
|
2 |
0 |
1 |
4 |
|
1 |
2 |
5 |
3 |
|
4 |
1 |
3 |
2 |
2ой столбец доминирует 4ый.
Игрок 2 никогда не будет использовать свою 4ую стратегию, следовательно на нее можно не обращать внимания и рассмотреть матрицу следующего вида:
3х3
2 |
0 |
1 |
1 |
2 |
5 |
4 |
1 |
3 |
3я строка доминирует 1ую, удаляем ее и получим:
2х3
1 |
2 |
5 |
4 |
1 |
3 |
В этой матрице 3ий столбец доминируется 2ым.
Т.о. исходная матрица сводится к матрице
2х2
1 |
2 |
4 |
1 |
И нужно искать оптимальные стратегии только для матричной игры 2х2.
3х4 → 2х2.
Решение игры в смешанных стратегиях.
Введем специальное обозначение смешанных стратегий:
Пусть имеется игра, в которой у
Игрока А – m
стратегий:
,
Игрока В – n
стратегий:
.
Будем обозначать
нашу смешанную стратегию, в которой
стратегии
применяются с вероятностями
,
причем
.
Аналогичное
обозначение смешанной стратегии для
противника:
,
.
Очевидно, что каждая чистая стратегия является частным случаем смешанной. При чистой стратегии, кроме данной, имеют вероятности равные нулю, а данная – единице.
Существует основная теорема теории игр.
Теорема.
Каждая конечная игра имеет по крайней мере одно решение, возможное в области смешанных стратегий.
Каждая конечная
игра имеет цену, которая всегда лежит
между нижней и верхней ценами игры:
.
Предположим, что в игре решение состоит из двух оптимальных смешанных стратегий:
,
,
,
.
Будем называть активными стратегиями игрока те, которые входят в оптимальную смешанную стратегию с отличными от нуля вероятностями.
Теорема: об активных стратегиях.
Если один из игроков придерживается своей оптимальной смешанной стратегии, то выигрыш остается неизменным и равным цене игры независимо от того, что делает другой игрок, если только тот не выходит за пределы своих активных стратегий.
Пусть дана матричная игра 2х2:
И предположим, что
она не имеет седловой точки. Следовательно
стратегии:
,
.
Игрок А -
,
Игрок В -
.
Тогда оптимальные стратегии х и у должны иметь положительные компоненты, т.е. обе стратегии игроков являются активными.
Теорема.
Если А – матричная игра 2х2, не имеющая седловой точки в чистых стратегиях, то ее единственно оптимальной смешанной стратегией х и у и значение игры определяется следующими формулами:
;
;
Где
- определитель
матрицы А.
-
присоединенная матрица для А, элементы
которой равны соответствующим
алгебраическим дополнениям для
транспонированной матрицы А.
- вектор с элементами
(1, 1).
Пример.
Решить матричную игру
,
которая не имеет решения в чистых стратегиях, т.е. седловой точки.
,
,
.
,
,
.
Тогда х=(0,75 , 0,25),
у=(0,5 , 0,5),
.
Рассмотрим далее
решение игры
,
в которой один из игроков имеет только
две стратегии. Аналогичный анализ может
быть произведен и для
.
Если игрок 1 применяет смешанную стратегию х, то задача игрока 2 состоит в минимизации выигрыша игрока 1, т.е. в определении минимума по j:
.
Обозначим этот
минимальный выигрыш игрока 1, при его
смешанной стратегии х через
.
Задача игрока 1 заключается в максимизации
,
т.е. в определении
- значения игры.
Т.к.
, то имеем:
Таким образом,
выражение
является минимумом n
линейных функций (имеем
n
штук – одной переменной
).
Можно вычертить n графиков этих функций j игрока 2, найти при каждом значении минимум по j, а затем искать максимум по , т.е. максимизировать графическими методами.
Решение игр .
Для решения общих матричных игр используется итеративный метод Брауна-Робинсона и его модификации или метод линейного программирования.
Итеративный метод Брауна-Робинсона.
Решение при помощи фиктивного разыгрывания.
Идея метода сводится к следующему: разыгрывается эксперимент, в котором игроки применяют друг против друга свои стратегии. Эксперимент состоит из последовательности партий. Под партией подразумевается однократное осуществление матричной игры.
Начинается эксперимент с того, что один из игроков (например игрок А) выбирает произвольную, одну из своих, стратегий (например i). Игрок В на это отвечает своей стратегией j, которая наименее выгодна для игрока 1, применяющего стратегию i. На это игрок А отвечает своей стратегией , которая наименее выгодна для игрока В, применяющего стратегию j.
Дальше снова очередь игрока 2. Он выбирает ту стратегию, которая наименее выгодна для игрока 1, если он будет применять половинную смесь стратегий i и .
В каждой партии, когда наступает очередь выбирать стратегию, игрок отвечает своему противнику той своей чистой стратегией, которая является наихудшей для противника мерой против всех его предыдущих выборов. Этим предыдущие выборы рассматриваются как своеобразная смешанная стратегия, где чистые стратегии смешаны в пропорциях соответствующих частоте их применения в прошлом. Т.е. при каждом разыгрывании каждый игрок действует так, чтобы максимизировать свой ожидаемый выигрыш против наблюдаемого эмпирического вероятностного распределения противника.
Если игрок 2 использовал
свою j-ую
стратегию (
)
раз, то игрок 1 выбирает свою чистую
стратегию i
так, чтобы максимизировать выражение
.
Аналогично, если
игрок 1 использовал свою i-ую
стратегию
раз, где (
),
то игрок 2 выбирает свою чистую стратегию
j
так, чтобы максимизировать выражение
.
Такой способ представляет модель взаимного обучения игроков, когда каждый из них на опыте прощупывает способ поведения противника и учится на его и своих ошибках.
Такие эмпирические распределения сходятся к оптимальным стратегиям. Доказано, что если такой процесс продолжать достаточно долго, то средний выигрыш, приходящийся на одну партию, будет стремиться к значению игры, а частоты применения стратегий – к оптимальным частотам.
Сходимость метода - медленная, однако приемлемое для практики решение получается довольно скоро.
Метод итераций наиболее полезен в случае матричных игр очень большой размерности. Его преимущество состоит в том, что сложность решения сравнительно мало возрастает с увеличением размера матрицы , тогда как сложность решения игровой задачи методом линейного программирования резко растет при увеличении m и n.
Пример.
Решить методом итераций следующую игру.
|
|
|
|
|
2 |
-3 |
4 |
|
-3 |
4 |
-5 |
|
4 |
-5 |
6 |
.
Эта игра была решена методом линейного программирования( ).
Прибавляя ко всем элементам матрицы одно и то же число: 5, сделаем их неотрицательными:
7 |
2 |
9 |
2 |
9 |
0 |
9 |
0 |
11 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
1 |
3 |
9 |
0 |
11 |
2 |
2 |
|
0 |
0 |
9 |
4.5 |
2 |
2 |
11 |
9 |
11 |
2 |
4 |
|
0 |
4.5 |
9 |
6.75 |
3 |
2 |
13 |
18 |
11 |
3 |
13 |
|
11 |
3.67 |
6 |
4.84 |
4 |
2 |
15 |
27 |
11 |
3 |
|
18 |
22 |
2.75 |
5.5 |
4.13 |
5 |
1 |
22 |
29 |
20 |
3 |
31 |
18 |
|
4 |
6.61 |
5.3 |
6 |
3 |
31 |
29 |
31 |
2 |
|
27 |
33 |
4.83 |
5.5 |
5.16 |
… |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В 1ом столбце дан № партии, т.е. пары выбора.
Во 2ом столбце - № i выбранной в данной партии стратегии игрока А.
6ой столбец – стратегия игрока В.
В последующих трех
столбцах – накопленный выигрыш за
первые k
партий, при тех стратегиях, которые
применяли оба игрока в предыдущих
партиях. При стратегии
игрока А в данной партии и при стратегиях
игрока в данной партии.
Из этих накопленных
выигрышей подчеркиваем минимальный,
если таких минимальных выигрышей
несколько, то подчеркиваются все
(минимальные). Подчеркнутое число
определяет собой наивыгоднейшую чистую
стратегию игрока В в данной партии. Она
соответствует номеру стратегии
,
для которой достигается минимум
накопленного выигрыша. Если таких
минимумов несколько, то берется любой
из них (например: случайным розыгрышем).
Таким образом, в следующем столбце проставляется номер оптимальной ответной стратегии противника : j.
В последующих трех
столбцах (7-9) приводится накопленный
выигрыш за k
партий, соответственно при стратегиях
игрока А.
Из этих значений максимальное обозначается чертой сверху – оно определяет собой выбор игрока А следующей партии (т.е. в следующей строке таблицы).
В дальнейших столбцах таблицы (10-12) помещаются такие данные:
- минимальный
накопленный выигрыш, деленный на число
партий k.
- максимальный
накопленный выигрыш, деленный на число
партий k.
- среднее арифметическое.
Величина
может служить приближенным значением
цены игры.
Подсчитывая число случаев применения игроком каждой стратегии и деля его на число стратегий, получим приближенные значения вероятностей, с которыми применяются стратегии в оптимальной смеси.
Величина
незначительно колеблется около цены
игры
(цена исходной игры была равно нулю; мы
прибавили ко всем элементам матрицы по
5).
Подсчитав по таблице частоты применения стратегий в первых 30 партиях.
( 8 - 8 раз использовали 1ую стратегию(строку); 30 – число партий).
,
(6 – число обращений к 1му столбцу)
,
.
Решение игр методом линейного программирования.
Решение любой конечной игры может быть сведено к задачам линейного программирования.
Рассмотрим игру со стратегиями игрока А и игрока В.
Задана матрица игры с элементами .
Требуется найти
решение игры, т.е. две оптимальные
смешанные стратегии:
и
;
,
.
-вероятности
применения чистых стратегий игроком
А.
-вероятности
применения чистых стратегий игроком
В.
В общем случае некоторые из этих вероятностей могут быть равны нулю и соответствовать неактивным стратегиям.
Найдем сначала
оптимальную стратегию
. Эта стратегия должна обеспечить нам
выигрыш не меньший
,
при любом поведении противника и выигрыш
равный
,
при его оптимальном поведении, т.е.
стратегии
.
Предположим, что игрок А применяет свою оптимальную стратегию , а противник В – свою чистую стратегию .
Тогда средний выигрыш
игрока А будет равен
.
,
Стратегия
обладает тем свойством, что при любом
поведении противника обеспечивает
выигрыш не меньший, чем цена игры
.
Значит любое из чисел
не может быть меньше
.
Не нарушая общности, можно считать, что
.
Это выполняется всегда, когда все
элементы матрицы
положительны. Если же среди элементов
имеются отрицательные, то их можно
сделать положительными, прибавив ко
всем элементам матрицы игры некоторое
число:
.
При этом цена игры увеличится на величину
.
В результате получим ряд условий:
Введем обозначение:
,
,
,
Тогда имеем следующую матрицу:
Определить
неотрицательные значения переменных
так, чтобы они удовлетворяли линейным
ограничениям и при этом их линейная
функция равная
.
Таким образом, решая задачу линейного программирования мы найдем оптимальную стратегию игрока А.
Игрок В стремиться
минимизировать выигрыш, а следовательно
максимизировать величину
.
Аналогично получим:
,
,
Требуется выбрать
переменные
,
чтобы они удовлетворяли данной системе
неравенств и обращали в максимум линейную
функцию:
Таким образом, если конечная матричная игра не имеет седловой точки и следовательно не имеет решений в чистых стратегиях, ее решение выполняется в смешанных стратегиях методом линейного программирования. И в этом случае задача решения конечной игры сводится к двум задачам линейного программирования.
Пример.
|
|
|
|
|
2 |
-3 |
4 |
|
-3 |
4 |
-5 |
|
4 |
-5 |
6 |
Прибавим ко всем элементам 5:
7 |
2 |
9 |
2 |
9 |
0 |
9 |
0 |
11 |
1) В чистых стратегиях нет решения.
2) В смешанных
Решая полученную задачу линейного программирования, мы находим:
,
,
.
Смешанные стратегии первого игрока:
Для нахождения оптимальной смешанной стратегии второго игрока составим следующие уравнения:
(
-
оптимальный)
Остальные два уравнения получим составив выражение для средних потерь, при оптимальной смешанной стратегии второго игрока.
Смешанные стратегии второго игрока:
,
Цена игры:
Рассмотрим полную группу несовместных событий с вероятностями
Разделим интервал
(0, 1) на m
участков с длинами
Рисунок:
Выбор оптимальной
чистой стратегии
производится следующим образом.
Обратимся к генератору случайных чисел, равномерно распределенных на интервале:
Далее проверяем условия:
- случайное число.
Номер i – номер чистой стратегии.
Аналогично: выбор стратегии j.
Принятие решений при нечетко сформулированных целях и ограничениях.
В задачах принятия решений часто встречаются ситуации, в которых исходные данные, цели, ограничения, последствия возможных действий оказываются нечетко определенными и расплывчатыми.
Расплывчатость (нечеткость) – тип неточности, который связан с расплывчатыми или нечеткими множествами, т.е. с классами, в которых нельзя указать резкую границу, определяющие элементы, принадлежащие к данному классу и элементы, не принадлежащие к нему.
Фактически большинство классов в реальном мире (в противоположность понятию класса или множества в математике) не имеют четких границ, которые отделяли бы входящие в класс объекты от объектов не входящих в него.
К примеру, расплывчатыми (нечеткими) являются классы объектов, характеризуемые такими часто используемыми прилагательными как: «большой», «маленький», «точный», «приближенный»…
Отличительная особенность человеческого интеллекта – это способность оперировать расплывчатыми понятиями и выполнять расплывчатые инструкции.
Различия между случайностью и нечеткостью:
Случайность связана с неожиданностью, касающейся принадлежности некоторого объекта к нерасплывчатому множеству. Понятие расплывчатость относится к классам, в которых могут быть различные градации степени принадлежности, промежуточные между полной принадлежностью и непринадлежностью объектов к данному классу.
Пример: Степень принадлежности Джона к классу высоких мужчин = о,7 является расплывчатым утверждением вследствие расплывчатости выражения высоких. А утверждение: вероятность того, что Джон женится в течение года = 0,7 – вероятностное утверждение, характеризующее неопределенность наступления нерасплывчатого события (женитьба).
Это различие приводит к тому, что математические методы теории расплывчатых или нечетких множеств не похожи на методы теории вероятности. Процессы принятия решений, в которых присутствует нечеткость, базируется на трех фундаментальных понятиях:
Расплывчатые цели;
Расплывчатые ограничения;
Расплывчатые решения.
Расплывчатая цель – цель, которую можно описать как расплывчатое множество в соответствующем пространстве.
Примером расплывчатой цели (связанной с вещественной переменной Х) служит цель. Х должно быть много больше 100. Примером расплывчатого ограничения служит Х, которое должно находиться примерно в интервале[20;25].
Рассмотрим основные понятия и определения теории нечетких (расплывчатых) множеств.
Нечеткое множество
А на множестве Х
– это совокупность упорядоченных пар
А = {х, 
},
х 
Х, А
Х
, где
- функция зависящая от х,
принимающая значения из интервала [0,1]
пространства принадлежности.
Значения в интервале
[0,1]
представляют соответственно низшую и
высшую степени принадлежности. Т.о.
функция принадлежности 
[0,1]
количественно оценивает степень
принадлежности элемента х
к нечеткому множеству А.
Примеры задания нечетких множеств.
Пример. Пусть х = {0,1,2,…,12} – совокупность неотрицательных чисел. В этом пространстве расплывчатое множество А может быть определено как набор упорядоченных пар:
А = {(2;0,3)(3;0,5),(4;0,6),(5;0,8),(6;1)}.
В нечетком множестве
А
перечислены только те пары, {х,
},
для которых 
(Чем больше значение 
,
тем в большей степени число принадлежит
множеству: 0 – элемент не принадлежит,
1 – в наибольшей степени принадлежит.)
Теория нечетких множеств также может быть использована в операциях с лингвистическими переменными.
Лингвистическая переменная – переменная, принимающая свои значения из заданного множества терминов или высказывания естественного языка, которые называются термами.
Пример. Боевой порядок самолетов – лингвистическая переменная. Множество ее термов:
Пр = {сомкнутый, разомкнутый, рассредоточенный}.
Для работы с
лингвистическими переменными каждый
терм следует представить через
соответствующее нечеткое множество.
На Рис.1 d – дистанция между ЛА.
Терм: А = {(0,1;1)(0,5;1),(0,7;0,4),(0,9;0,1)}.
Функции принадлежности
при большом числе термов задают (как
правило) кусочно-линейными. Для указания
того, что расплывчатое множество А
получено из нерасплывчатого множества
за счет размытия границ множества
,
используется
- оператор размытия по символам или
символами, определяющими четкое множество
Пример. - множество действительных чисел между 2 и 5:
{х│2
х
5}
{х│
}
– расплывчатое множество действительных
чисел, которые приблизительно заключены
между 2 и 5.
{х│х = 5}
{х│
}
– нечеткое множество чисел примерно
равных 5.
Перейдем к определению нескольких основных понятий.
Нормальность (нормальное нечеткое множество) – размытое множество А нормально тогда и только тогда, когда sup на множестве х = 1.
Расплывчатое множество субнормально, если оно не является нормальным. Непустое субнормальное расплывчатое множество может быть нормализировано делением каждого на величину:
.
Расплывчатое
множество пусто,
когда 
для всех х.
Субнормальное: А = {(2;0,3), (4;0,6), (5;0,8)}.
Нормальное:
А = { (2; 
),
(4; 
),
(5; 
)
}.
Равенство нечетких
множеств. А=В
тогда и только тогда, когда 
для всех х
Х,
А
Х,
В
Х.
Дополнение.
А’-
дополнение к А
тогда и только тогда, когда 
.
Включение.
Расплывчатое множество А
В
(В тоже расплывчатое) тогда и только
тогда, когда 
для всех х
Х.
Пересечение.
Пересечение нечетких множеств А
и В
обозначается как А
В
и определяется как наибольшее расплывчатое
множество, которое содержится как в А,
так и в В.
Функция принадлежности
,х
Х,
(1)
где
Если использовать
вместо символа 
знак конъюкции ∧,
то условие (1) переписывается:
.
Объединение.
Это объединение А
и В
в Х,
нечеткое множество 
с 
,
х
Х,
(2)
где
Используя знак
дезъюнкции 
:
.
Алгебраическое
произведение
нечетких множеств А
и В
обозначается: АВ,
(3)
Алгебраическая
сумма А
и В
обозначается через 
и 
.
(4)
Выпуклость и вогнутость нечетких множеств.
Пусть А
– расплывчатое множество, х
Х, Х
.
Тогда А
является выпуклым
расплывчатым множеством в том и только
том случае, если его функция принадлежности
для каждой пары точек х,у
Х
удовлетворяют неравенству:
,
(5)
0
Соответственно, А является вогнутым, если его дополнение А’ выпукло. Если два расплывчатых множества А и В выпуклы, то их пересечение также выпукло: А В.
Если А и В вогнуты, то их объединение вогнуто тоже.
Отношение.
Расплывчатое отношение 
на прямом произведении Х*У
= {(х,у); х
Х, у
У} есть
расплывчатое множество,
характеризуемое функцией принадлежности
,
которая сопоставляет каждой упорядоченной
паре (х,у) её степень принадлежности
к нечеткому отношению 
В общем случае
расплывчатое отношение на декартовом
произведении Х=
- есть расплывчатое множество Х,
описываемое зависящей от 
переменных функцией принадлежности
,
,
.
Например, пусть Х
= У
,
где 
- действительная прямая(
).
Тогда условие Х
У
задает расплывчатое отношение, функция
принадлежности которого: 
Задать отношение
на множестве Х
означает указать все пары (х,у),
которые связаны отношением
.
Для обозначения того, что элементы х
Х, у
У связаны
отношением
,
пользуются двумя эквивалентными формами
записи: 
или (х,у)
.
Нечетким отношением
на множестве Х
называется нечеткое подмножество,
характеризующееся функцией принадлежности
(0,1].
Причем 
принимается как субъективная мера
выполнения отношения
.
Нечеткое отношение
= 
.
Множество С
представляет собой объединение нечетких
отношений А
и В,
если его функция принадлежности 
:
=
.
Множество D
является пересечением нечетких отношений
А
и В,
если 
=
.
Нечеткое отношение
В
включает в себя нечеткое отношение А,
если выполнено условие: 
х,у
.
Если
- нечеткое отношение с функцией
принадлежности
,
то отношение
’
характеризуется функцией 
и называется дополнением отношения 
на множестве Х.
Обратное к
отношение 
определяется: 
.
.
Расплывчатые множества порождаемые отображениями
Пусть f
– функция, отображающая Х
в У,
Х={x},Y={y},
причем у=f(х).
А
– расплывчатое множество В
У
с функцией принадлежности 
(6)
Причем супремум
берется по всем точкам х,
составляющим преобразование 
в Х
точки У.
Условное расплывчатое множество
Расплывчатое
множество В
в У={у}
называется условным
по х:
В(х),если
его функция принадлежности зависит от
переменной х
как от параметра. Эта зависимость
выражается записью 
.
Предположим, что областью изменения параметра х является Х, при этом каждому х из Х соответствует расплывчатое множество В(х) У. Т.о. мы имеем дело с отображением из Х в пространство расплывчатых множеств У, характеризуемых функцией принадлежности . Посредством этого отображения любое заданное расплывчатое множество В У, определяемое соотношением:
(7)
– функции
принадлежности множеств А
и В
соответственно.
Разложимость.
Пусть есть множество
Х={х}
и У={у}.
Пусть С
– нечеткое множество Z=Х*У
с 
.
Тогда нечеткое множество С
называется раложимым по х
и у
в том и только том случае, если оно
допускает представление цели С=А
В,
что то же:
,
(8)
где А
и В
– нечеткие расплывчатые множества с
соответственно.
Множество уровня и декомпозиция нечеткого множества.
Множество уровня нечеткого множества А Х – множество, составленное из элементов х Х, степень принадлежности которых к нечеткому множеству А не меньше .
– множество уровня
нечеткого множества А.
= 
= 
В некоторых случаях
удобно пользоваться разложением
нечеткого множества по его множествам
уровня. Т.е. представить нечеткое
множество: А=
Пример. Х = {0,1,2,3,4,5,6}.
Х |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
|
0 |
0,1 |
0,3 |
0,5 |
0,7 |
0,9 |
1 |
,
,
,
,
,
=
Расплывчатые цели, ограничения и решения.
В общепринятом подходе главными элементами процесса принятия решений в расплывчатых условиях является:
Множество альтернатив;
Множество ограничений, которое необходимо учитывать при выборе между различными альтернативами;
Функция цели, определяющая предпочтения среди выбираемых альтернатив.
Пусть Х – множество альтернатив Х={х} – совокупность возможных вариантов выбора решающего лица, принимаемые решения. Нечеткая цель – нечеткое подмножество G Х, которое определяется совокупностью упорядоченных пар.
G={х,
},
х
Х.
- функция принадлежности цели. Чем больше
степень принадлежности альтернативы
Х
нечеткому множеству G,
тем больше степень достижения этой цели
при выборе альтернативы х в качестве
решения.
Пример 1.
Если х (действительной прямой), а расплывчатая цель формулируется как: Х должно быть значительно больше 10, то цель можно представить как расплывчатое множество в с функцией принадлежности, имеющей следующий вид:
Если в окрестности
15, то в качестве цели может быть поставлено
соответствующее множество G:
.
Нечеткое ограничение
также отождествляется с фиксированным
расплывчатым множеством С
Х,
которое задается совокупностью
упорядоченных пар: С={х,
,
х
Х, 
– функция принадлежности ограничений.
Пример 2.
,
эта область должна находиться в диапазоне
[2,10]. Функция принадлежности в этом
случае имеет вид:
= 
,
где а - положительное число, m
– четное положительное число, выбираемое
так, чтобы передать смысл, в котором
следует понимать приближение к интервалу
[2,10].
Пусть а =
,
m=4,
тогда х = 2; х = 10 -> 
.
х = 0;
х = 12 -> 
.
Т.о. цель и ограничения рассматриваются как расплывчатые множества в пространстве альтернатив. Важнейшая особенность принятия решения в расплывчатых условиях – отсутствие различий между целями и ограничениями при формировании решений.
Определим решение задачи достижения нечеткой цели G при нечетком заданном ограничении С. Решить данную задачу означает достигнуть цели с той или иной степенью принадлежности и удовлетворить в той или иной степени принадлежности ограничениям.
Расплывчатое решение следует определить как расплывчатое множество в пространстве альтернатив, получаемое в результате пересечения заданных целей и ограничений.
Пусть в пространстве
альтернатив Х={х}
задана расплывчатая цель G={х,
и расплывчатое ограничение 
}.
Тогда расплывчатое множество D, образуемое пересечением расплывчатых множеств G и С, называется решением.
D=
},
х
Х и 
=
.
(9)
При наличии n целей
и m ограничений нечеткое решение
описывается функцией принадлежности:
(10)
Если различные цели и ограничения отличаются по степени важности и заданы соответствующими коэффициентами, то в таких случаях решение D может быть выражено выпуклой комбинацией цели и ограничений с весовыми коэффициентами, характеризующими относительную важность соответствующих элементов.
,
.
(11)
Пусть D
– расплывчатое решение с функцией
принадлежности 
.
Пусть K
– множество тех точек в Х,
в которых функция
достигает max.
Тогда под множеством 
определяемое условие
будет называться
оптимальным
решением, а
каждое х
из носителя множества 
будет называться максимизирующим
решением.
Максимизирующее решение – любая альтернатива в пространстве Х, которое максимизирует функцию принадлежности решения .
Носитель расплывчатого
множества А
– такое нечеткое множество S(А),
что x
S(А), а 
.
Т.о. максимизирующее решение 
Х
определяется как:
=
arg
=
arg
.
(12)
Пример.
Х=
.
Функции цели и ограничения:
|
0 |
0,1 |
0,4 |
0,7 |
0,8 |
0,6 |
0,4 |
0,2 |
0 |
0 |
х |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
|
0 |
0,1 |
0,4 |
0,8 |
1 |
0,7 |
0,4 |
0,2 |
0 |
0 |
|
0,1 |
0,6 |
1 |
0,9 |
0,8 |
0,6 |
0,5 |
0,3 |
0 |
0 |
|
0,3 |
0,6 |
0,9 |
1 |
0,8 |
0,7 |
0,5 |
0,3 |
0 |
0 |
|
0,2 |
0,4 |
0,6 |
0,7 |
0,9 |
1 |
0,8 |
0,6 |
0,4 |
0,2 |
Максимизирующее
решение:
=5=
arg
.
(Не требуется использование множителей Лагранжа.)
22.03.2010г.
До сих пор мы ограничивались рассмотрением ситуаций, в которых цели и ограничения являются расплывчатыми множествами в пространстве альтернатив Х. Представляет интерес более общий случай, когда цели и ограничения расплывчатых множеств представлены в разных пространствах.
Пусть f – отображение из Х={х} в У={у}, у=f(х).
Пусть цели заданы
как расплывчатые множества 
и расплывчатые ограничения 
в пространстве Х.
Имея 
,
i=
в У,
можно найти расплывчатое множество 
в Х.
Функция принадлежности
задается равенством 
,
i=
.
После этого решение D
может быть выражено пересечением
множеств: 
,
.
Т.о. случай, когда цели и ограничения задаются как расплывчатые множества в разных пространствах может быть сведен к случаю, когда они задаются в одном и том же пространстве.
Сведение задачи четкой оптимизации к задаче нечетной оптимизации.
Дано:
F={
(x)},
,
х
Х –
вектор-критерий.
,
,
х
Х – ограничения.
Определить:
=arg
,
,
х
Х.
(1)
Для сведения сделаем:
Найдем
,
,
.Определим функцию принадлежности:
=
При 
+
,
(размоем ограничения).
– расстояние, на которое перемещается граница j-го ограничения.
Определим функции принадлежности ограничений:
=
+
Причем .
Определим функцию принадлежности расплывчатого решения:
.
=arg
.
Классификация задач нечеткого программирования.
Перечислим некоторые типичные классы задач нечеткого программирования:
Максимизация заданной обычной функции f(x) на заданном нечетком множестве допустимых альтернатив. Допустимые альтернативы определены функцией принадлежности ограничения (оно определено нечетким множеством целей).
Для решения произведем
нормировку функции f(x):
.
Тогда требуется
найти такую альтернативу х,
для которой достигается 
{
}.
Задачу отыскания такой альтернативы можно сформулировать так:
λ -> max,
,
х
Х.
Нечеткий вариант стандартной задачи математического программирования.
Найти: max f(x) при условии: φ≤0, х Х.
Нечеткий вариант
этой задачи получится, если смягчить
ограничения, т.е. допустить возможность
их нарушения в той или иной степени.
Кроме того, вместо максимизации функции
f(x)
можно стремиться к достижению некоторого
заданного значения 
этой функции, причем различными
отклонениям значений f(x)
от
следует приписывать различные степени
допустимости.
Исходную задачу можно записать:
f(x)
(нечеткие
неравенства), φ≤0, х
Х.
Тогда можно ввести следующие нечеткие множества цели и ограничения.
=
(0,1),
=
(0,1),
,
-
степень
выполнения соответствующих неравенств
(их конструирует исследователь).
Нечетко описана функция принадлежности цели
и ограничений 
.
Нечеткость определена через эти функции.
Задано множество допустимых альтернатив:
,
=arg
.
Многоэтапный процесс принятия решений при нечетких условиях.
Рассмотрим систему с дискретным временем, в которой переходы из состояния в состояние происходят в момент времени t=0,1,2,…,N-1.
Переход системы в
новое состояние описывается: 
=f(
).
Будем считать, что
в любой момент времени управление 
должно подчиняться некоторому нечеткому
ограничению 
с 
Задана нечеткая
цель управления в виде нечеткого
подмножества 
,
которое представляет собой нечеткое
ограничение на состояние системы 
в конечный момент времени t=N
и функция его принадлежности 
(
).
Задача: выбрать
такую последовательность управлений
{
}
, t=
,
которая удовлетворит в максимальной
степени ограничениям
и обеспечит достижение заданной конечной
цели 
.
Начальное состояние
системы
считается заданным. Т.о. мы должны
определить последовательность управлений
,
для которых функция принадлежности
множества решений D:
=
.
Для решения данной
задачи применим метод динамического
программирования. Обозначим:
=
– функция принадлежности решения цели
системы на N-1
шаге при условии, что состояние системы
.
=
,
.
- максимальная степень достижения
заданной цели
за 2 шага до конца процесса в случае,
когда система находится на 
шаге в состоянии 
.
Тогда рекуррентное соотношение Беллмана для любого (N-K) шага:
=
,
,
К=
.
Решение осуществляется следующим образом:
Вычисляется 
при К=1, 2, …,
.
При этом значения
функций 
берутся из предыдущего шага. Наконец,
на последнем шаге К=
мы воспользуемся начальным условием
и вычислим 
.
Все остальные управления определяются
интегрированием процесса.
Принятие решений при нечетком отношении предпочтения на множестве альтернатив.
Пусть на множестве
альтернатив Х,
х,у
Х.
Предполагают:
Х≥у (х не хуже у), т.е. (х,у)
R
– нестрогое предпочтение.у≥х (у не хуже х), (у,х) R.
Х и у несравнимы между собой:
(х,у)
R
и (у,х)
R.
Такая информация
позволяет сузить класс рациональных
выборов, включив в него лишь те
альтернативы, которые не доминируются
ни одной альтернативой множества х.
Для того, чтобы определить недоминируемые
альтернативы, выделим соответствующие
R
отношения строгого предпочтения 
и 
- отношения безразличия.
Будем говорить, что
альтернатива х
у
(строго лучше), если (х,у)
находится в отношении строгого
предпочтения.
х у, у не больше или равно х, (у,х) R.
Совокупность всех
таких пар (х,у)
назовем отношение строгого предпочтения
на множестве Х.
Если (х,у)
,
то будем говорить, что альтернатива х
доминирует альтернативу у.
Альтернатива х
– недоминируемая в множестве (Х,R),если
(у,х)
R
для любого у
,
т.е. если х
– недоминируемая альтернатива, то в
множестве Х
нет ни одной альтернативы у,
которая доминировала бы х.
Очевидно, что недоминируемые альтернативы
– неулучшаемые в множестве (Х,
)
и их выбор в задаче принятия решений
естественно считать рациональным. Если
же информация в форме предпочтения
недостаточна, т чтобы сделать выбор
между х
и у,
то между ними имеется отношение
безразличия. (х,у)
тогда и только тогда ,когда либо не
выполнено Х≥у,
либо у≥х,
или оба предпочтения выполнены
одновременно.
(х,у)
(у,х)
R
или (х,у)
(у,х)
R.
При моделировании часто встречающейся ситуации, когда у лица принимаемого решение нет четкого представления о предпочтениях между альтернативами, и он может лишь оценить степень выполнения того или иного предпочтения между парами альтернатив виде числа [0;1].
В таком случае может
быть выявлено нечеткое отношение
предпочтения, в котором каждой паре
(x,y) соответствует
число, описывающее степень выполнения
предпочтения x
y.
Такое нечеткое отношение предпочтения R на множестве X будем описывать функцией принадлежности µR, обладающей свойством рефлексивности:
µR(
x)=1, x 
X
Если R-
нечеткое отношение предпочтения на
множестве альтернатив X
для любой пары альтернатив (x,y)
X значение функции
µR(x,y) следует
понимать как степень предпочтения
x
y.
По заданному множеству x , но нечеткому предпочтению R можно однозначно определить три соответствующих ему нечетких отношения:
Безразличие
(
)Эквивалентность
(
)Строгое предпочтение
(
)
Эти нечеткие отношения используются для определения и анализа свойства множества альтернатив в задачах принятия решений:
Нечеткое отношение безразличия:
(x,y)=
Нечеткое отношение эквивалентности
(x,y)=
Нечеткое отношение строгого предпочтения
(x,y)
Функция принадлежности множества недоминирующих альтернатив
(x)=
,
x
X
(x)=
,
x
X
=
,то
(x)=
.
Множество всех
альтернатив 
удовлетворяющих условию
(x)=
)-
.
Назовем максимальными недоминирующими альтернативами
(X,
(x))
Пусть на множестве
X={
}
задано нечеткое отношение предпочтения
вида:
=
i j |
|
|
|
|
|
1 |
0.2 |
0.3 |
0.1 |
|
0.5 |
1 |
0.2 |
0.6 |
|
0.1 |
0.6 |
1 |
0.3 |
|
0.6 |
0.1 |
0.5 |
1 |
(
)=
i j |
|
|
|
|
|
0 |
0 |
0.2 |
0 |
|
0.3 |
0 |
0 |
0.5 |
|
0 |
0.4 |
0 |
0 |
|
0.5 |
0 |
0.2 |
0 |
(x)=
|
|
|
|
0.5 |
0.6 |
0.8 |
0.5 |
Наибольшую степень недоминируемости =0,8 имеет альтернатива =0.8, следовательно, ее выбор в качестве решения следует принять самым рациональным.
Многокритериальные задачи принятия решений
Многокритериальная
задача оптимизации на ряду с множеством
альтернативных решений A
включает набор целевых функций, заданных
на множестве f1, f2, … fm, M>1.
Набор целевых функций образует вектор-функцию:
F(x)={ f1, f2, … fm}, x A (1)
Со множеством допустимых решений удобно рассматривать множество значений
Y=f(A)={
Y ∈
/y=F(x),
x
A
}
(2)
Множество Y- множество оценок, а его элементы y-оценки.
Пространство
,
в котором содержится множество А,
называют пространство
решений, а
пространство 
,
в котором содержится множество y-
пространство
оценок или критериальное пространство.
Каждому решению с x∈A соответствует одна вполне определенная оценка: y=F(x) ∈X.
y X- отвечают те решения x A, для которых F(x)=y.
В общем случае задача векторной или многокритериальной оптимизации формулируются как задачи одновременной минимизации или максимизации некоторой совокупности критериев.
F(x)={ f1, f2, … fm}, x A.
Решение задачи
векторной оптимизации состоит в выделении
подмножества
точки, которой независимо от того какую
систему предпочтений среди критериев
выделит ЛПР будут заведомо лучше, чем
другие точки x
множества A.
-называется
доминирующими
или эффективными,
а множество всех эффективных точек
- областью
доминирующих решений или областью
Парето.
В пространстве
параметров эффективности множеству
точек соответствуют области
,
которые образуют область
,
называемую областью
компромиссов или характеристик
возможностей.
Множество оптимальных решений
Выбор решений из множества возможных А равносилен выбору оценки из множества оценок Y,следовательно, для удобства множества возможных решений будем обозначать Z , считая, что в качестве Z может быть взято как множество A так и Y.
Прямой выбор наиболее предпочтительного решения из всего множества Z как правило труден, таким образом упростим задачу и выберем сначала лучшее из двух данных решений, считая, что Z включает более двух решений.
Далее аналогично выяснить предпочтение для каждой пары решений. В результате сравнений получим информацию на основании которой лицо принимающее решение произведет выбор решения из всего Z .
Если из двух заданных решений a и b множества Z лицо принимающее решение выбирает a, то будем говорить, что решение более предпочтительнее, чем b.
Все пары (a b) Z для которых a более предпочтительнее, чем решение b, образуют множество, которое будет называться отношением строгого предпочтения и обозначается ≻.
Указанное множество является отношением, заданным на множестве Z .
В общем случае для произвольно выбранной пары решений может быть выполнено одно из следующих решений:
1) a>b
2) b>a
3) a~b (отношение безразличия)
(a b) Z - неразличимы, если не выполняются соотношения 1-2.
Т.е решение a и b несравнимы по отношению строгого предпочтения
Удобно рассматривать еще одно отношение, являющееся отношением строгого предпочтения или безразличия .
a
обозначает,
что для ряда параметров векторов имеет
место строгого предпочтения , а для
других векторов имеет место равенство.
неразличимое
по отношению к строгому предпочтению
на множестве z ,
если не существует другого решения для
которого справедливо соотношение
.
Решение
также называют оптимальным
по отношению строгого предпочтения,
если для 
выполняется соотношение.
Подмножество всех оптимальных решений из z будем обозначать:
Требование, гарантирующее существование оптимальных решений сформулировано в следующей теореме.
Теорема
Если множество Z-непусто и содержит конечное число элементов, а отношение ассиметрично и транзитивно, то – непусто.
Отношение R-ассиметричное, если для произвольной пары из справедливости aRb вытекает, что не bRa выполнятся:
aRb a>b,
bRa b>a.
Отношение R - транзитивное, если из выполнения двух соотношений aRb , bRc следуют соотношения aRc.
Алгоритм нахождения всего множества оптимальных решений в соответствии с данной теоремой состоит из последовательного выполнения следующих шагов:
Ведем обозначения
ШАГ 1
Выполняется
попарное сравнение решения 
с
каждым из основных решений. Если для
некоторого i=
выполняется соотношение 
,
то решение 
из
множества 
удовлетворяют, так как он не может быть
оптимальным.
В противном случае
После выполнения всех сравнений решение также следует удалить из
При этом если ни для
какого не оказалось выполненным
соотношение 
,
то решение является оптимальным и его
следует запомнить.
Оставшееся в результате удаления множество решений обозначаем через
Если множество не пусто, то переходят к следующему шагу.
Иначе, процедура отыскания закончена.
ШАГ 2
Аналогичен первому шагу и заключенному в попарном сравнении
из 
Все решения из 
для
которых
Из множества
исключают
удаляют решение 
при
этом если ни для какого i=
не оказалось выполненным выполнено
соотношение
,
то 
Также 
и решение следует запомнить так как
соотношение 
не
может иметь место, так как решение 
не
было удалено из 
на
первом шаге
Соотношение
,
для 
так
же не может быть выполнено так как:
и это отношение транзитивно.
То есть из
, следует,
,
Оставшееся после
исключения множество решений обозначим
через 
Если непусто, то переходят к шагу 3.
ШАГ 3
Согласно транзитивности
отношения, решение 
оптимально
на множестве 
является оптимальным на 
,
а значит и на исходном множестве на
.
Так как множество
содержит конечное число элементов, то
через конечное число шагов, процедура
закончится. Решение, хранящее в памяти
образ-искомое непустое множество
Оценим трудоемкость алгоритма, то есть наименьшее и наибольшее возможные числа попарных сравнений, которые потребуются для нахождения всего множества
Наименьшее число
сравнений 
-1
имеет место, если
,
i=
Наибольшее число,
когда приходиться сравнивать между
собой все возможные пары решений и
.
Пример: (имеется 9
различных вариантов проектных решений:
,
)
Эксперты оценили их по следующим 6 показателям:
1)Надежность;
2)Производительность;
3)Экономический эффект;
4)Удобство в эксплуатации;
5)Просто изготовления;
6)Внешнее оформление;
Оценка производилась от 0…10
Аль-ва Пока-ли |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Надежность |
10 |
4 |
6 |
9 |
5 |
3 |
3 |
3 |
2 |
Производительность |
2 |
7 |
8 |
2 |
1 |
8 |
5 |
6 |
5 |
Экономич. эффект |
3 |
3 |
3 |
3 |
0 |
0 |
4 |
3 |
3 |
Удобства в эксплуатации |
2 |
4 |
5 |
2 |
5 |
2 |
2 |
4 |
1 |
Простота изготовления |
2 |
3 |
4 |
1 |
2 |
4 |
7 |
4 |
5 |
Внешнее оформление |
4 |
1 |
2 |
3 |
2 |
1 |
7 |
1 |
7 |
Из имеющихся проектов
требуется выбрать наилучший; для этого
определяем Парето оптимальные решения
и проведем сравнение решения
со всеми другими:
, i=5,6,7,8,9
Запомним решение
удалим из
решение 
в результате приходим к множеству
,
которое
=(
)
Сравнивая теперь
решение 
со
всеми другими решениями из множества
.
, i=5,6,7,8,9
Из множества 
,а
определяем, как Парето-оптимальную.
=(
)
={
}
В результате сравнений получим Парето оптимальное решение.
Для окончательного выбора необходима дополнительная информация.