Методы поиска компромиссных решений в задачах векторной оптимизации.

Рассмотрим подход к отысканию компромиссного решения в задачах векторной оптимизации.

Метод 1

Для того чтобы альтернатива такая, что ) была эффективна при заданном векторе предпочтения , достаточно, чтобы была единственным решением системы неравенств:

, (6)

Для минимального значения параметра , для которых эта система совместна.

Уменьшая значение параметра мы приближаемся к альтернативе, обеспечивающей минимальные потери по всем целевым функциям, то есть компромиссные альтернативы.

Итерационный процесс останавливается, когда наименьшее , зависящее от n, –номер шага, при котором система на множестве допустимых альтернатив еще совместна, при которых она уже не совместна.(Отличается на , значение задается заранее.)

При этом, если решение системы неравенств единственно, то это есть искомая компромиссная альтернатива; если решение не единственное, то компромиссную альтернативу можно получить, оптимизируя на этом множестве эквивалентных альтернатив какой-нибудь обобщенный критерий.

В качестве такого критерия можно выбрать:

F(x)= (7)

И минимизировать его на множестве альтернатив.

, }

Метод 2

Основан на минимизации по обобщенному критерию вида:

F(x)=

Где задается преобразованием 1

F(x)=

Задачу нахождения единственной компромиссной альтернативы можно сформулировать следующим образом: найти решение задачи параметрическим программированием относительно параметра при заданном векторе предпочтения

F(x)= (9)

F(x)= (10)

(11)

(12)

Вначале отыскивается минимально возможное значение параметра, при котором система ограничение (11-12) совместна.

Если решение не единственное, то выбор компромиссной альтернативы осуществляется с помощью критерия (10)

Приближенные методы решения задачи векторной оптимизации.

Метод 1 (метод простого взвешивания)

Пусть задана матрица решений

, i j

i-альтернатива, критерий;

j-коэффициент;

- относительная важность для каждого критерия

Матрицу эффективности предварительно нормализуют

(1)

(2)

(1)- критерий прибыли;

(2)- критерий стоймости;

; .

Тогда наиболее предпочтительной считается альтернатива , для которой

(3)

(4)

Метод 2 (метод идеальной точки)

Метод основан на предположении, что лучшие решения имеют наименьшее расстояние до положительно идеального и наибольшего расстояния до отрицательно идеально решения.

Алгоритм метода состоит из следующих шагов

1. Строится взвешенная нормализованная матрица:

, k=1,2, i j (5)

2. Определяется положительно оптимальное решение:

( )= (6)

( )= (7)

3. Определяется оптимально отрицательное решение:

( )= (8)

( )= (9)

4. Выполняется расчет расстояний от альтернативы i до положительно идеальной точки и расчет до отрицательно идеальной точки .

k=1,2, i j (11)

5. Рассчитывается относительная близость альтернативы I к идеальной положительной точке, которая определяется по критерию .

= , 1 (12)

Альтернатива I тем ближе к положительной идеальной точке, тем ближе (12) к единице.

6. Проводится ранжирование альтернатив.

,

Метод Электра

Требуется сравнить альтернативу по критерию (5).

, k=1,2, i j

Алгоритм метода:

1. Формируется взвешенная нормированная матрица альтернативы критерия:

(13)

2. Определяются массив согласия и несогласия. Для пары альтернатив матрица (13) разделяется на 2 подмножества

Множество согласия , которое включает все критерии

Это множество согласия имеет следующий вид:

(14)

(15)

Дополняющее множество несогласия

(16)

(17)

3)Определяется индекс согласия, как сумма весовых для тех критериев, кот входят в массив согласия:

Суммирование производится по тем индексам, для которых выполняется условие (14) или (15) .

4)Определяется индекс несогласия:

,

- индекс несогласия, для которого выполняется условие (16) , если k=1 и (17), если k =2.

5) Задаются пороги согласия P и несогласия Q.

.

0

0

Альтернативы предпочтительнее альтернативы , если:

>P

<Q

Этап I. Иерархическое представление

В МАИ иерархическое представление задачи экспертизы задается в виде 3-х уровневой структуры:

• верхний уровень – цель;

• второй уровень – частные или комплексные критерии сравнения альтернатив попарно;

• третий уровень – сравниваемые альтернативы.

Цель

К₁

А₁₁

К₂

К_m

А₂

А_n

…

…

Иерархия считается полной, если каждый элемент иерархического уровня функционирует как критерий для всех элементов нижестоящего уровня. Иначе иерархия – неполная.

Также обязательно чтобы элементы уровня иерархии были сравнимы попарно по отношению к элементам следующего иерархического уровня.

В рассматриваемых задачах экспертизы перспективы развития СТС целью является сравнительная оценка проектных решений с позиции качества разработанной технической системы.

Цель – верхний уровень в иерархическом представлении задачи экспертизы. Нижний уровень – альтернативы – набор оцениваемых альтернатив проектов. Средний уровень – критерий – единичные и комплексные показатели качества СТС.

Комплексная оценка совершенства СТС

С позиции системного подхода оценка совершенства СТС должна отражать 3 аспекта:

• технический;

• функциональный;

• экономический.

Каждый из аспектов – сложное свойство СТС, описываемое несколькими показателями.

Чтобы оценить полноту и состоятельность той или иной группы показателей необходимо установить их соподчинение, СТС представляется в виде графов состояний, наиболее характерными из которых являются:

• Ц – целевая задача решаемая СТС.

• Э – целевая отдача, эффект от применения СТС.

• Т – Собственно техническая система, задается в виде технических характеристик, обеспечивающих выполнение целевой задачи.

• С – стоимость СТС, задается экономическими характеристиками.

Для общности и наглядности оценки, параметры исследуемой СТС целесообразно анализировать в сравнении с параметрами аналога, представляющего наиболее прогрессивный прототип.

Граф:

Ц

W_П

Wk

В данном графе состояния аналога определены индексом А:

Вершины графа – состояния.

Дуги – отношения соответствия.

Э

Э_А

К

Т

W_ср

W_ТУ

W_ср^А

Т_А

W_Э^А

W_Э

С

С_А

Показатели состояния – основные параметры СТС:

1. Показатели целевой задачи, определяющие качества СТС – параметры технического значения, т.е. полный список требований которым должна удовлетворять СТС.

2. Показатели целевой отдачи Э – обобщенная характеристика результатов выполнения целевой задачи.

3. Технические характеристики (Т, Т_А). Их показатели:

• показатели назначения;

• показатели надежности;

• эргономические показатели;

• эстетические показатели;

• показатели технологичности;

• показатели транспортабельности;

• показатели унификации;

• показатели экологичности;

• показатели безопасности;

• патентно-правовые показатели.

Эти показатели (для Т, Т_А) объединяют в 3 группы:

1. Конструктивное совершенство:

• м ассовое;

• а

  совершенство

  эродинамическое;

• энергетическое;

• экологическое;

• уровень информативных признаков СТС.

Этим понятием ( конструктивное совершенство ) определяют совокупность свойств и характеристик, присущих непосредственно СТС.

2. Производственно-технологическое совершенство.

Характерные свойства СТС, которые обеспечивают достижение наиболее высоких показателей:

• малая трудоемкость;

• простота обработки;

• срок основания производства изделия;

• степень автоматизации и механизации производственных процессов.

3. Эксплуатационные свойство: отражает приспособляемость СТС к процессу эксплуатации.

Основные факторы:

• боевые возможности;

• эксплуатационная технологичность;

• транспортабельность;

• информационное совершенство.

Боевые возможности – показатели свойства, от которых зависит способность СТС выполнять поставленные перед ней боевые задачи.

Боевые возможности можно разделить на группы:

• простые (определяют область пространства, где может быть выполнены боевые задачи);

• временные возможности по выполнению боевой задачи;

• условия выполнения боевой задачи;

• стоимостные показатели (на стадиях обеспечения технических требований стоимость СТС определяют: С = С_Р + С_П + С_Э + С_УТ , где С_Р – затраты на разработку, С_П – затраты на производство, С_Э – затраты на эксплуатацию, С_УТ – затраты на утилизацию).

– функциональное качество.

- потенциальное значение функционального качества.

- уровень функционального качества.

- техническое качество.

В качестве показателя эффективности используются 2 формы:

• функциональная;

• экономическая.

Отношение соответствия целевой задачи техническим характеристикам – функциональной эффективности.

Соизмерение затрат целевой отдачи – экономическая эффективность.

Этап II. Проведение парных сравнений

Парные сравнения – центральное звено МАИ.

Суть – установление веса показателей рассматриваемого иерархического уровня по отношению к их воздействию на критерий вышестоящего уровня.

Необходимо проводить сначала попарное сравнение альтернатив A₁, А₂,…,А_n по отношению к критериям К₁, К₂,…,К_n.

 К₁: Пусть по оценке (критерию) К₁ альтернатива A₁ имеет вес ω₁, A_i - ω_i, A_n  ω_n. Тогда, проведя попарное сравнение этих альтернатив по отношению к критерию К₁ представим матрицу по весам:

К1	A1	A2	…	Aj	…	An
A1			…		…	Вместо К1 – наименование критерия – проставляют критерий. Строки и столбцы – названия альтернатив. Элемент на пересечении i-ой строки и j-го столбца .
A2			…		…
…	…	…	…	…	…	…
Ai			…		…
…	…	…	…	…	…	…
An			…		…

Элементы матрицы парных сравнений имеют свойства:

• все элементы матрицы положительны;

• на главной диагонали матрицы стоят единицы;

• матрица обратно симметрична относительно главной диагонали, т.е. .

• транзитивность: .

Этим свойствам отвечает идеальная матрица.

Рассмотрим:

Из высшей алгебры квадратная положительная обратно симметричная матрица размерности n имеет максимальное собственное число

Идеальная матрица [n×n] имеет . А соответствующий собственный вектор имеет значения координат пропорциональные абсолютным значениям критериев рассматриваемых альтернатив.

Пусть имеется экспериментальная матрица парных сравнений. Для оценки отличия экспериментальной матрицы от идеальной используют индекс согласованности, критерий определяется:

Автор метода МАИ также вводит индекс случайной согласованности.

Случайный индекс – СИ.

Для матрицы размерности n ≤ 15 автор дает зависимость случайного индекса от n:

n	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
СИ	0	0	0.58	0.9	1.12	1.24	1.32	1.41	1.45	1.49	1.51	1.54	1.56	1.57	1.59

СИ

n

Для оценки близости экспериментальной матрицы к идеальной рассматривается отношение согласованности: ОС = ИС/СИ.

При 0 ≤ ОС ≤ 0.1, экспериментальную матрицу предполагается считать близкой к идеальной и для нее допускается использование всех полезных свойств идеальной матрицы.

Приближенный метод расчета максимального собственного числа и соответствующего ему собственного вектора матрицы парных сравнений

Матрица парных сравнений:

1) Для каждой строки матрицы составим произведение ее членов:

2) Введем нормированный вектор:

3) Определим элементы (для матрицы):

4) Определим

Для идеальной матрицы парных сравнений эта сумма равна размерности ( ) матрицы парных сравнений.

Для приемлемо согласованной экспериментальной матрицы, для которой отношение согласованности

,

максимальное собственное число матрицы определяется

5) Далее рассчитывают индекс согласованности:

6) Определяют отношение согласованности:

( -случайный индекс; см. таблицу)

При условии

Составлена экспериментальная матрица парных сравнений приемлемо согласованная. И полученным вектором можно пользоваться в дальнейшем.

Для назначения весов используется 9-ти балльная шкала.

Пусть по какому-то критерию сравниваются альтернативы:

и .

Возможны следующие варианты сравнений:

1) если не имеет преимущества по этому критерию перед ,то

2) если имеет еле заметное преимущество перед ,то

3) если имеет заметное преимущество перед ,то

4) если имеет существенное заметное преимущество перед ,то

5) если имеет абсолютное преимущество перед ,то

.

Баллами 2, 4, 6, 8 оценивают промежуточные отношения.

Если оценивается баллом , т.е. , то .

Результаты парных сравнений удобно представить в виде матрицы:

К		…		…
		…		…
…	…		…		…
		…		…
…	…		…		…
		…		…

Строки и столбцы матрицы соответствуют названиям альтернатив. Порядок следования альтернатив по вертикали и по горизонтали – одинаковый.

В ячейках матрицы стоит результат парного сравнения альтернативы, стоящей в строке с альтернативой, стоящей в столбце.

Многокритериальный выбор альтернативы.

Из альтернатив необходимо выбрать по критерию лучшую.

Для каждого критерия проведем определение локальных приоритетов альтернатив :

Для критериев методом парных сравнений определим их приоритеты по отношению к цели:

.

Тогда глобальный приоритет альтернативы определяется по формуле:

Или в матричном виде:

- вектор глобального приоритета -ой альтернативы по отношению к цели.

Обобщим процедуру синтеза приоритетов на примере трехуровневой иерархии:

Цель,

Критерии,

Альтернативы.

Для трехуровневой иерархии, в соответствии с рассматриваемым методом, необходимо построить одно матрицу парных сравнений, для сопоставления отношений важности критериев по отношению к цели.

Табл.1

Цель	критерий					вектор локальных приоритетов s
	1
Критерий 1
Критерий
Критерий m

OC=

(если - считаем столбец «вектор локальных приоритетов s»).

И также необходимо построить группу матриц парных сравнений для сопоставления относительной важности рассматриваемых альтернатив по отношению к каждому из критериев:

Табл.2

		…		…		Вектор локальных приоритетов
		…		…
…	…		…		…	…
		…		…
…	…		…		…	…
		…		…

( - критерий; сколько критериев - столько матриц(таблиц)).

Вектора приоритетов, определяемые из матриц парных сравнений табл.1, табл.2 являются локальными.

Для определения глобальных приоритетов строится таблица приоритетов, которая имеет следующий вид:

	вектор локальных приоритетов цель-критерии
		…		…
		…		…
…	…				…	…
		…		…
…	…				…	…
		…		…

(сколько столбцов – столько критериев)

Тогда глобальные приоритеты по каждой альтернативе определяются по следующим формулам:

Вектор глобальных приоритетов показывает относительный вес каждой из альтернатив по отношению к цели и лучшей принимается альтернатива имеющая больший глобальный приоритет.

После определения глобальных приоритетов рекомендуется оценить согласованность всей иерархии.

Согласованность всей иерархии можно найти перемножая каждый индекс согласованности на приоритет соответствующего критерия и далее суммируем полученные числа.

Полученный результат суммирования затем делится на выражение такого же типа, но со случайным индексом согласованности, соответствующих размерам матриц парных сравнений:

Последовательность решения задачи методом анализа иерархии (МАИ)

1) Иерархическое представление задачи экспертизы.

2) Проведение парных сравнений, которое заключается в построении матриц парных сравнений.

Каждая матрица парных сравнений в общем случае формируется в диалоговом режиме.

Если элемент А доминирует над элементом Б, то клетка, соответствующая строке А и столбцу Б заполняется целым числом от 2 до 9.

А клетка, соответствующая строке Б и столбцу А, заполняется обратным к нему числом.

Если же элемент Б доминирует над элементом А, то происходит обратное: целое число становится в позицию строка Б столбец А. А обратная величина автоматически заносится в позицию строка А столбец Б.

Если считается, что элементы А и Б оказывают одинаковое воздействие, то в обе позиции ставятся единицы.

Для получения каждой матрицы парных сравнений требуется суждений, где - размерность матрицы, т.е. число сравниваемых элементов.

3) Затем выполняется проверка согласованности матриц парных соответствий.

Согласованность суждений, высказанных в процессе парных сравнений проверяется для каждой из составленных матриц.

Для этого определяется индекс согласованности и отношение согласованности.

Если для какой-либо из матриц условие согласованности не выполняется, т.е. , то следует пересмотреть суждения, положенные в основу данной матрицы парных сравнений.

При согласованности матриц парных сравнений определяются локальные приоритеты.

Локальные приоритеты определяются для каждой матрицы парных сравнений.

После определения локальных приоритетов определяются глобальные приоритеты.

Лучшей считается альтернатива, имеющая большее значение глобального приоритета.