Методы решения задач векторной (многокритериальной) оптимизации.

Пусть задано множество целевых функций

F={ }, i I={ }

Обозначим через ,

Множество индексов соответственно для максимальных и минимальных целевых функций.

Рассмотрим, какие альтернативы являются лучшими:

Если на множестве допустимых альтернатив для некоторых альтернатив X существует хоть одна альтернатива такая, что , то альтернатива X называется доминируемой.

Если же такой альтернативы не сущес твует, то альтернатива X называется недоминируемой или эффективной.

тогда и только тогда, когда выполняется систем неравенств:

И хотя бы 1 из неравенств системы является строгим

Следовательно, альтернатива является эффективной, если на множестве допустимых альтернатив не существует такой альтернативы для которой выполнялись бы неравенства:

И хотя бы одно из неравенств нестрогое.

Эффективную альтернативу называют неулучшаемой по множеству целевых функций или оптимальных по Парето.

Две оптимальные альтернативы либо эквивалентны, либо несравнимы между собой.

Альтернативы если = ,

определены на одном и том же множестве допустимых альтернатив.

Множество целевых функций будет называться эквивалентными на A, если они определяют на нем одно и тоже отношение нестрогого предпочтения, то есть для любых других двух альтернатив .

Эквивалентные множества целевых функций определяют на множестве допустимых альтернатив одни и те же отношения предпочтения. Справедлива следующая теорема:

Если существует множество монотонных преобразований W={ }, i I,таких что i-ое преобразование переводит область значения функции в область : для всего множества допустимых альтернатив A, то существует хоть одна альтернатива, такая что множество целевых функции

эквивалентно .

Если эффективная альтернатива множества целевых функций.

F={ }, i I ,то так же является эффективной альтернативой на множестве функций W={ }, i I.

онотонная функция от .

Целевая функция имеет как правило различную физическую размерность, так как характеризует разные свойства выбираемого решения, следовательно, целесообразно рассматривать не само множество целевых функций, а эквивалентное ему множество функций.

монотонное преобразование, приводящее i-ую целевые функции к безразмерному виду и позволяющее их сравнить между собой

Обозначим через W множество значений функций W=

Каждой альтернативе X соответствует вполне определенный вектор, тогда отношение нестрогого предпочтения неразличимости и строгого предпочтения, введенное для альтернатив, оказывается справедливо и для множества функций W.

Свойства эффективных альтернатив. Способы их нахождения.

Будем считать,что все минимизируются и приведены к безразмерному виду. Свойства устанавливаем в следующих теоремах.

Теорема1

Если множество допустимых альтернатив выпукло, а целевые функции вогнуты, то для любой эффективной альтернативы существует такой вектор C={ }, i I, что и что критерий достигает минимума на множестве альтернатив при .

Теорема2

Пусть -эффективная альтернатива множества целевых функций W={ }, тогда и существует вектор C,

C={ }, i I, что .

F(X)= достигает минимума на множестве допустимых альтернатив при .

В качестве компонент .

, .

Теорема3

Если -эффективная альтернатива множества целевых функций, то для любой

, x

, x

Для любого l

,

, x

, x .

Рассмотрим определение предпочтительного решения в задачи многокритериальной оптимизации. Очевидно, таким лучшим решением следует считать такую альтернативу x.

Для которой величина отклонения от оптимальных значений по каждой целевой функции.

достигает своего минимального значения.

оптимальное значение i-ой целевой функции на множестве допустимых альтернатив.

Рассмотрим теперь определение монотонного преобразования , позволяющее привести целевую функцию к безразмерному виду.

Это преобразование должно удовлетворять следующим требованиям:

1)Иметь общее начало отсчета и один порядок изменения значений на всем множестве допустимых альтернатив.

2)Учитывать необходимость минимизации отклонений от оптимальных значений по каждой целевой функции

3)Сохранять отношение предпочтения на множестве альтернатив, сравниваемых по целевым функциям и тем самым не изменять множество допустимых альтернатив; в качестве такого преобразования можно выбрать одну из монотонных функций следующего вида:

(1)

(2)

(3)

- наибольше и наименьшее значение; соответственно наименьшее значение максимизируемых и наибольшее минимизируемых целевых функций, достигаемые ими на множестве допустимых альтернатив.

-может определяться выражением (1)-(2), а показатель

Рассмотрим, какую альтернативу следует считать решением многокритериальной оптимизации, если определено множество функций, каждая из которых минимизируется

W= , ,

И задано предпочтение на множестве целевых функций.

Для каждой альтернативы такой что в пространстве W существует вектор.

(4)

и числа такие, что альтернатива X удовлетворяет соотношениям

(5)

Если альтернатива - есть эффективная альтернатива для данного вектора , то ей соответствует наименьшее значение параметра , при котором система равенств выполняется одновременно для всех i.