Глава 3. Расчет сооружений на устойчивость

3.1. Основные понятия

Устойчивость отдельного стержня или сооружения (конструкции) в целом есть способность стержня (конструкции) сохранять свою форму и геометрические размеры под действием внешней нагрузки.

Потеря формы стержня и его геометрических размеров происходит от нагрузки, которая называется критической. Расчет на устойчивость и направлен на определение величины этой критической нагрузки (или нагрузок).

Для определения величины критической силы Р_кр одного стержня используется метод непосредственного интегрирования дифференциального уравнения сжато-изогнутой оси стержня. Решение этой задачи было получено Л.Эйлером в 1744 году:

.

Эйлером и его последователями было показано, что величина зависит от условий закрепления концов отдельного стержня. Это видно из таблицы 5

Использовать этот метод для совокупности стержней, представляющих конструкцию в целом, затруднительно из-за громоздкости вычислений. Были предложены статические методы: метод сил и метод перемещений (на их основе - и другие способы).

Наиболее практичным оказался метод перемещений.

Напомним: в методе перемещений в качестве неизвестных принимаются линейные и угловые перемещения .

Общий вид канонических уравнений представим на примере с 3-мя неизвестными:

;

;

.

Поскольку сам расчет на устойчивость предполагает прикладывать усилие вдоль стержня (стержней), то при расчете всю нагрузку, действующую на конструкцию (сооружение) (рис. 113б), распределяют по узлам.

Тогда реактивные усилия во введенных связях от внешней нагрузки будут равны нулю и система канонических уравнений становится однородной, т. е.:

;

;

.

Такая система уравнений имеет два решения:

1) либо , т. е. перемещения узлов отсутствуют;

2) либо определитель системы уравнений равен нулю:

Первый случай нас не устраивает, поскольку нет перемещений – нет и вопроса устойчивости, т. к. только при наличии перемещений узлов происходит потеря устойчивости конструкции.

Остается второй случай:

.

Коэффициенты в определителе вычисляются как в методе перемещений из эпюр моментов при единичных перемещениях введенных связей, но с учетом продольного воздействия сжимающей силы .

Для отдельных стержней с различными условиями опирания эти задачи решены и представлены в таблице 6.

Если присмотреться к величинам реактивных усилий, то заметим, что к известному значению от перемещения без влияния продольной силы добавляется сомножитель, учитывающий влияние сжимающих усилий. Значения этих функций имеют вид:

; ; ;

; ; .

Функции зависят от критического параметра , который вычисляется по формуле

,

где - длина -го стержня; .

Определив все в общем виде, подставим их в определитель. Раскроем определитель и получим уравнение устойчивости, решение которого производится методом подбора с использованием таблицы 7. Для этого назначается начальная величина , по которой определяются значения и т. д. Полученные значения подставляются в уравнение устойчивости. Если результат вычислений не равен нулю при заданном значении , то принимается новое значение и до тех пор, пока уравнение не достигнет нуля (или будет близким к нулю). Последнее значение и есть тот критический параметр, соответствующий критической силе .

По величине подбирается (или проверяется) длина стержня по выражению:

.

Расчетная же длина стержня определяется из соотношения:

,

где μ – коэффициент, зависящий от условий закрепления концов стержня (табл. 5).

3.2 Примеры расчета

Пример 1.

Определить величину критической силы для стойки (рис. 114а) постоянной жесткости . Основная система метода перемещений для стойки показана на рис. ( 114б).

Эпюра моментов от единичного перемещения связи (угла поворота введенной заделки) с использованием таблицы 6 показана на рис. 114в. Каноническое уравнение запишется:

.

Критический параметр для обоих участков (стержней) одинаковый:

;

l = 3; следует найти, (по условию задачи).

Величина вычисляется из условия равновесия узла 2 (рис. 114г):

.

Уравнение устойчивости примет вид:

или

.

Данное уравнение решаем путем подбора, используя таблицу 7 специальных функций.

Исследуя данное уравнение, замечаем, что одно из слагаемых должно быть величиной отрицательной. Из таблицы видим, что при малых значениях ( ) отрицательной будет функция .

1. Принимаем .

; .

Подставим их в уравнение устойчивости:

D = .

2. Примем .

; ;

D= .

Решение находится между , но ближе к 3,6 (по интерполяции).

ТАБЛИЦА 7

0,0	1,0000	1,0000	1,0000	1,0000	1,0000	1,0000
0,1	0,9997	1,0002	0,9998	0,9990	0,9993	0,9960
0,2	0,9987	1,0007	0,9993	0,9960	0,9973	0,9840
0,3	0,9970	1,0015	0,9985	0,9910	0,9940	0,9640
0,4	0,9947	1,0027	0,9973	0,9840	0,9893	0,9360
0,5	0,9916	1,0042	0,9958	0,9750	0,9832	0,8999
0,6	0,9879	1,0061	0,9940	0,9640	0,9757	0,8557
0,7	0,9836	1,0083	0,9918	0,9510	0,9669	0,8035
0,8	0,9785	1,0109	0,9893	0,9360	0,9565	0,7432
0,9	0,9727	1,0138	0,9864	0,9189	0,9447	0,6747
1,0	0,9662	1,0172	0,9832	0,8999	0,9313	0,5980
1,1	0,9590	1,0209	0,9797	0,8788	0,9164	0,5131
1,2	0,9511	1,0251	0,9757	0,8557	0,8998	0,4198
1,3	0,9424	1,0297	0,9715	0,8307	0,8814	0,3181
1,4	0,9329	1,0348	0,9669	0,8035	0,8613	0,2080
1,5	0,9227	1,0403	0,9619	0,7744	0,8393	0,0893
π/2≈1,57	0,9149	1,0445	0,9581	0,7525	0,8225	0,0000
1,6	0,9116	1,0463	0,9565	0,7432	0,8152	–0,0381
1,7	0,8998	1,0529	0,9508	0,7100	0,7891	–0,1743
1,8	0,8871	1,0600	0,9447	0,6747	0,7606	–0,3194
1,9	0,8735	1,0676	0,9382	0,6374	0,7297	–0,4736
2,0	0,8590	1,0760	0,9313	0,5980	0,6961	–0,6372
2,1	0,8436	1,0849	0,9241	0,5566	0,6597	–0,8103
2,2	0,8273	1,0946	0,9164	0,5131	0,6202	–0,9931
2,3	0,8099	1,1051	0,9083	0,4675	0,5772	–1,1861
2,4	0,7915	1,1164	0,8998	0,4198	0,5304	–1,3896
2,5	0,7720	1,1286	0,8908	0,3700	0,4793	–1,6040
2,6	0,7513	1,1417	0,8814	0,3181	0,4234	–1,8299
2,7	0,7295	1,1559	0,8716	0,2641	0,3621	–2,0679
2,8	0,7064	1,1712	0,8613	0,2080	0,2944	–2,3189
2,9	0,6819	1,1878	0,8505	0,1497	0,2195	–2,5838
3,0	0,6560	1,2057	0,8393	0,0893	0,1361	–2,8639
3,1	0,6287	1,2251	0,8275	0,0267	0,0424	–3,1609
π ≈3,14	0,6168	1,2337	0,8225	0,0000	0,0000	–3,2899
3,2	0,5997	1,2462	0,8152	–0,0381	–0,0635	–3,4769
3,3	0,5691	1,2691	0,8024	–0,1051	–0,1847	–3,8147
3,4	0,5366	1,2940	0,7891	–0,1743	–0,3248	–4,1781
3,5	0,5021	1,3212	0,7751	–0,2457	–0,4894	–4,5727
3,6	0,4655	1,3509	0,7606	–0,3194	–0,6862	–5,0062
3,7	0,4265	1,3834	0,7455	–0,3954	–0,9270	–5,4904
3,8	0,3850	1,4191	0,7297	–0,4736	–1,2303	–6,0436
3,9	0,3407	1,4584	0,7133	–0,5542	–1,6269	–6,6969
4,0	0,2933	1,5019	0,6961	–0,6372	–2,1726	–7,5060
4,1	0,2424	1,5501	0,6783	–0,7225	–2,9802	–8,5836
4,2	0,1878	1,6037	0,6597	–0,8103	–4,3156	–10,196
4,3	0,1287	1,6636	0,6404	–0,9005	–6,9947	–13,158
4,4	0,0648	1,7310	0,6202	–0,9931	–15,327	–21,780
4,4934	0,0000	1,8017	0,6006	–1,0820	–∞/+∞	–∞/+∞
4,5	–0,0048	1,8070	0,5991	–1,0884	227,93	221,18
4,6	–0,0809	1,8933	0,5772	–1,1861	14,669	7,6160
4,7	–0,1645	1,9920	0,5543	–1,2865	7,8186	0,4553
3 π /2≈4,71	–0,1755	2,0051	0,5514	–1,2991	7,4038	0,0000
4,8	–0,2572	2,1056	0,5304	–1,3896	5,4023	–2,2777
4,9	–0,3607	2,2375	0,5054	–1,4954	4,1463	–3,8570
5,0	–0,4772	2,3923	0,4793	–1,6040	3,3615	–4,9719
5,1	–0,6099	2,5757	0,4520	–1,7155	2,8130	–5,8570
5,2	–0,7629	2,7960	0,4234	–1,8299	2,3986	–6,6147
5,3	–0,9422	3,0648	0,3935	–1,9474	2,0668	–7,2965
5,4	–1,1563	3,3989	0,3621	–2,0679	1,7884	–7,9316
5,5	–1,4182	3,8236	0,3291	–2,1917	1,5455	–8,5379
5,6	–1,7481	4,3794	0,2944	–2,3189	1,3266	–9,1268
5,7	–2,1803	5,1346	0,2580	–2,4495	1,1235	–9,7065
5,8	–2,7777	6,2139	0,2195	–2,5838	0,9302	–10,283
5,9	–3,6679	7,8727	0,1790	–2,7219	0,7421	–10,861
6,0	–5,1594	10,727	0,1361	–2,8639	0,5551	–11,444
6,1	–8,2336	16,739	0,0907	–3,0102	0,3656	–12,037
6,2	–18,590	37,308	0,0424	–3,1609	0,1700	–12,643
2 π ≈6,28	–∞	+∞	0,0000	–3,2899	0,0000	–13,159

Примем .

или ,

откуда

.

Расчетные длины стержней для обоих участков будут равны (используется табл. 1):

(м).

Пример 2.

Определить величину критической силы для рамы, приведенной на рисунке 115а.

Решение.

.

Здесь мы опускаем процесс подсчета числа неизвестных.

Основная система показана на рисунке 115б.

Система канонических уравнений запишется:

.

В этой системе должно быть . Тогда должен равняться нулю определитель при неизвестных , т. е.

.

Раскроем определитель:

.

Произведем вычисления .

Эпюры М₁ и М₂ (от единичных перемещений первой и второй связей соответственно) приведены на рисунке 116а,б.

Напоминаем: для сжатых стержней внешней нагрузкой (в нашем случае только стойка) эпюра изгибающих моментов берется из таблицы 6, а для стержней, не подвергающихся сжатию, принимается, как и в обычном методе перемещений.

Из эпюры М₁ вырежем узел с первой связью (рис. 117 и здесь же показано вычисление r₁₁).

Из эпюры М₂ сечением 1 – 1 определим (рис. 118).

; ; .

Вырезая узел с первой связью (рис. 119), находим :

.

Подставим полученные значения в уравнение устойчивости:

.

Вынесем EJ. Получаем:

.

В полученном уравнении параметр устойчивости один (т .е. для одного стержня).

Переходим к решению уравнения.

Принимаем , тогда по таблице 7:

.

Подставим в уравнение устойчивости:

D = .

Принимаем :

D = .

Принимаем :

D = .

Значение критического параметра находится между и с большим приближением к .

Интерполируя, принимаем .

Критическая сила определится:

.

Расчетная длина сжатого стержня, а именно стержня 0-1, определится:

.

Пример 3.

Для заданной рамы и приложения нагрузки определить величину и расчетные длины сжатых стержней (рис. 120а).

Определяем основную систему метода перемещений (рис. 120б). Получим раму с 3-мя неизвестными. Определитель системы канонических уравнений при неизвестных приравняем нулю.

D = ;

Раскроем определитель по элементам первой строки и приравняем результат раскрытия определителя нулю, т. е. получим уравнение устойчивости:

.

Для вычисления построим эпюры изгибающих моментов от перемещений введенных связей на единицу, используя таблицу 6 для сжатых стержней (рис. 121, 122).

Из полученных эпюр видим, что критический параметр для стержней различный. Приведем их к одному, т.е. получим так называемые приведенные параметры .

Распишем критические параметры для каждого стержня из общего выражения:

,

где, как мы уже отмечали, .

При . С учетом этого запишем:

.

Примем больший критический параметр за (можно сказать, за единичный). Тогда все другие, заметьте, будут выражаться через с коэффициентом меньшим единицы, а именно:

.

(Отметим, что это делается лишь для того, чтобы при использовании таблицы 7 не получилось так, что значения критического параметра в ней не окажется).

Вернемся к вычислению реактивных усилий - .

Из эпюры М₁ находим :

;

;

.

Из эпюры М₂ находим :

;

.

Из эпюры определим :

.

Выпишем отдельно значения , входящие в уравнение устойчивости:

;

;

;

;

;

и рядом запишем само уравнение:

.

Значение критического параметра вычисляется из выражения:

,

где , как нам известно, зависит от закрепления концов сжатого стержня (см. таблицу 5). Для первого стержня , а для последнего - . Следовательно, значение критического параметра лежит в пределах от 3,14 до 4,49. В первом приближении примем = 3.

0,666 = 2,0; 0,5 = 1,5.

По таблице 7 определяем значения функций:

; ;

; ;

;

; ;

; ;

.

Теперь вычислим :

;

;

; ;

; .

Полученные значения подставляем в уравнение равновесия:

.

Как видим, результат не равен нулю.

Положим ,90; 0,666 =2,6; 0,5 = 1,95 .

Значения функций:

; ;

; ;

;

; ;

; ;

.

Вычисляем (промежуточные вычисления опускаем):

; ;

; ;

; .

Вычисляем само уравнение:

.

Интерполяция в предположении линейности уравнения дает = 3,16.

По условию закрепления стержней (табл. 5) вычисляем их расчетные длины, т.е.:

; ;

; ;

.

Используя расчетные длины стержней и критический параметр для них, определяем величину критических усилий (критическую нагрузку) для каждого стержня из выражения:

.

Тогда Р_1-2 = ,

а далее запишем только результаты:

Р_2-3 = 1,102ЕJ; Р_2-6 = 0,127EJ;

Р_2-5 = 0,277EJ; Р_3-4 = 0,275EJ.