7. Линии влияния усилий

1. Основные понятия.

При расчетах возникает необходимость проанализировать, как изменяется то или иное усилие в одном определенном сечении конструкции при различных вариантах загружения. Линия влияния (Л.В.), построенная для данного усилия, позволяет решить этот вопрос без дополнительных затрат на вычисления.

Итак, линия влияния есть график изменения усилия (S) в определенном месте (сечении) конструкции от приложенной к конструкции единичной силы (Р = 1) безразмерной величины, причем единичная сила передвигается по конструкции, не меняя своего направления.

Рассмотрим для примера простую балку (рис. 133а). Зафиксируем на ней единичную силу ординатой –х. Сила Р= 1 направлена вертикально.

Л. В. для R_A

Для данного загружения реакция R_A определяется из уравнения:

или ,

откуда

Анализ выражения показывает, что реакция R_A меняется по линейному закону. Поэтому достаточно положить х=0, когда сила Р = 1 будет находиться над опорой А и x = l, когда сила Р = 1 будет находиться над опорой В.

при x = 0. R_A = 1,

при x = l. R_A = 0.

Ордината графика (Л. В.) (рис. 133б) соответствует величине реакции опоры А, когда сила Р = 1 находится над этой ординатой – R_A(x).

Л. В. для R_B

Запишем выражение, из которого определяется величина реакции R_B:

. или ,

при x = 0 R_В = 1. В этом случае сила Р = 1 находится над опорой А;

при x = l R_В = 1. Сила Р = 1 находится над опорой В (рис.133в).

2. Линии влияния для внутренних усилий в балках

Определим сечение «К» на расстоянии «а» от опоры А (рис.133а).

Л.В. для Q_k

Сила Р = 1, двигаясь от опоры А к опоре В, в начальный момент окажется левее сечения «К». Определим значение Q_k при этом положении силы Р = 1:

Следовательно, значение перерезывающей силы меняется точно так же как и R_B, но со знаком минус, т. е.

При левом от сечения «К» расположении силы Р = 1 мы получили левую прямую Л. В. Q_k (рис.133г).

Рассмотрим положение силы Р = 1 справа от сечения «К».

Перерезывающая сила в сечении «К» вычисляется:

или ,

т. е. перерезывающая сила в сечении «К» при положении силы Р = 1 справа от сечения будет меняться так же, как и реакция опоры А. График изменения Q_k показан на рис.133д. Мы имеем правую прямую лв Q_k.

Теперь остается совместить оба эти графика (рис.133е).

Подчеркнем некоторые особенности полученного графика (рис.133е):

• левая и правая прямые параллельны;

• в сечении «К» наблюдаем на графике скачок, равный единице.

Рассуждая подобным образом, построим график изменения изгибающего момента в сечении «К» - М_к.

а) Сила Р = 1 слева от сечения «К»

или

лв лв ,

т. е. изгибающий момент в сечении «К» при положении силы Р = 1 слева от сечения «К» меняется так же, как и реакция опоры В, ординаты которой увеличены в «в» раз (рис.133ж). Мы получили левую прямую. Она справедлива только слева от сечения.

б) Сила Р = 1 справа от сечения «К»

или

лв лв

Правая прямая Л.В. М_к представляет собой лв. R_a, ординаты которой увеличены в «а» раз (рис.133ж). Нужно отметить, что левая и правая прямые пересекаются под сечением «К».

Рассмотрим консольную балку (рис.134).

Построим графики изменения (Л. В.) опорных реакций и внутренних усилий в сечении «К».

Л. В. R_A

Реакция данной опоры определится из уравнения статики

. или .

Обратим внимание: в уравнение не вошла координата х. Следовательно, величина реакции опоры А постоянная, где бы не находилась сила Р = 1 (рис. 134б).

Л. В. Н_А

Уравнение дает, что .

Л. В. М_А

Уравнение статики дает . Откуда .

Знак «минус» говорит о том, что направление реактивного момента мы выбрали неверно, а само значение М_А зависит от координаты – х

при х = 0

при х =l (где l – вылет консоли).

Л. В. М_A приведена на рис.134 в).

Л. В. М_k (изгибающий момент в сечении “К”)

Здесь мы вновь рассмотрим два положения груза Р = 1.

а) Груз Р = 1 слева от сечения (рис. 134г).

Изгибающий момент в сечении «К» проще подсчитать от правых сил (их нет), тогда . Следовательно, на графике (рис. 134е) слева от сечения изображаем нулевую линию (левую прямую).

б) Груз Р = 1 справа от сечения (рис. 134д).

Зафиксируем его от сечения «К» координатой х. Тогда изгибающий момент в сечении «К» вычисляется:

.

Отсюда имеем:

при х = 0

при х =b

По этим данным строим правую прямую (рис. 134е).

3. Линии влияния усилий в стержнях фермы

Рассмотрим ферму (рис. 135а).

Построим Л. В. для усилий стержней 2-ой панели, а именно, для усилий: N_2-9; N_9-8; N_2-8; N_2-3 и N_3-8. Линии влияния опорных реакций строим по аналогии с Л. В. реакций простой балки. (рис. 135б,в). Груз Р = 1 движется по верхнему поясу.

Л. В. N_2-9

Наметим путь определения усилия N_2-9. Проведем сечение 1 – 1, разрезав и стержень 2-9. Относительно этого сечения груз Р = 1 будет находиться слева и справа от сечения 1-1.

1. Р = 1 слева от сечения 1 – 1 (на рисунке груз не показан).

Рассматривая правую незагруженную часть фермы, находим, используя одно из уравнений статики, усилие N_2-9:

или

лв лв (левая прямая).

Левая прямая справедлива при грузе в 1 узле.

2. Р = 1 справа от сечения 1 – 1 (правая прямая)

Р = 1

(рассмотрим левую часть фермы – незагруженную).

лв - лв

Правая прямая справедлива от узла 2 до 5. От узла 1 левой прямой до 2 узла правой прямой проводим передаточную прямую (рис. 135г).

Л. В. N_2-3

Воспользуемся сечением 2-2 и при нахождении N_2-3 будем пользоваться суммой моментов относительно узла 8.

а) Груз Р = 1 слева. Рассматриваем равновесие правой части:

.

Отсюда

лв = - лв .

Линию влияния R₆ увеличиваем в раз (рис. 135д). Левая прямая справедлива от узла 1 до узла 2.

б) Груз Р = 1 справа (правая прямая).

Рассматриваем равновесие левой части:

или

лв = - лв .

Правая прямая (рис.135д) справедлива от узла 3 до узла 5.

От узла 2 левой прямой до узла 3 правой прямой проходит передаточная прямая, в данном случае совпадающая с левой прямой.

Л. В. N_2-8

Используем сечение 2- 2. В качестве исходного уравнения примем сумму проекций на ось «y».

а) Груз Р = 1 слева (рис. 135е)

. .

Отсюда

лв = - лв .

График справедлив только от узла 1 до узла 2.

б) Груз Р = 1 справа от сечения (рис.135е).

. .

лв = лв .

Правая прямая Л. В. N_2-8 будет справедлива от узла 3 до узла 5.

От узла 2 левой прямой до узла 3 правой прямой займет место передаточная прямая. Отметим особенность: для раскосов передаточная прямая занимает положение, близкое к перпендикуляру к данному раскосу.

Л. В. N_9-8 (рис. 135ж).

Для этого усилия основным уравнением примем

а) Р = 1 слева (левая прямая)

лв = - лв

б) Р = 1 справа (правая прямая)

лв = - лв

Л. В. N_3-8 (рис. 135з)

Для определения данного усилия воспользуемся вырезанием узла 3. Расположение стержней, сходящихся в узел 3, попадает под частный случай.

Если в узел сходятся три стержня, два из которых лежат на одной прямой, то, при отсутствии нагрузки в этом узле, усилие в отдельно стоящем стержне (N_3-8) равно нулю. Следовательно, если сила будет находиться в узлах 1, 2, 4, 5, усилие N_3-8 = 0.

Если узел 3 будет загружен силой Р = 1, то N_3-8 = -1.

От узла 2 до узла 8 и от узла 3 до узла 4 на Л.В. N_3-8 будут занимать место передаточные прямые (рис. 136з).

4 Линии влияния усилий в трехшарнирной арке

Графики изменения (Л.В.) усилий в трехшарнирной арке (рис. 136) определяются их выражениями:

;

;

,

из которых видим, что в первую очередь нужно построить Л.В. для распора – Н, для и .

Л.В. Н

Запишем выражение изгибающего момента относительно шарнира левой части арки, когда сила Р = 1 находится справа от шарнира С:

. тогда

.

Таким образом, построим правую прямую Л.В. Н (рис. 136б), и правой прямой можно пользоваться только от опоры В до шарнира С.

При грузе слева все наши рассуждения повторятся:

. .

Левая прямая пересечет правую прямую под шарниром С (рис. 136б).

Линии влияния опорных реакций R_A и R_B строятся как и для простой балки, и поэтому здесь они не рассматриваются.

Л.В. и

Указанные Л.В. нами уже были построены для простой балки и мы воспроизведем их без объяснения (рис. 136г, д).

Л.В. для данной арки

Из выражения следует, что ,

т. е. линия влияния является результатом алгебраического сложения двух линий влияния (рис.136е). Таким же образом строятся Л.В. для , (рис. 136 ж, з).