2. Кинематический анализ сооружения

1. Вводная часть

Чтобы оценить сооружение по кинематическому признаку, проводится кинематический анализ.

Рассмотрим отдельный элемент сооружения (балку, стержень любого очертания) как твердое тело – диск.

Диск – элемент, у которого в процессе взаимодействия с другими дисками расстояние между двумя его точками (точки А и В – рис. 38) не меняется.

Рассмотрим диск в плоскости. Точка А (и точка В) совершает поступательное перемещение вдоль оси х и y. Кроме этого, точка В диска совершает поворот относительно точки А на угол . Мы имеем два линейных перемещения и одно угловое перемещение., т. е. говорим: диск в плоскости имеет три степени свободы.

Итак, степенью свободы называем одно независимое перемещение диска.

Сооружение, имеющее степень свободы, называется механизмом.

Для получения неподвижности дисков и сооружения в целом устанавливаются связи.

2. Связи и их характеристики

Связь есть тело или устройство, ограничивающее перемещение твердого тела – диска.

Связь характеризуется реакцией (R). Реакция связи – есть сила, с которой связь действует на твердое тело – диск.

Характеристики связей:

а) Гладкая поверхность (рис. 39) – поверхность, у которой трение между поверхностью и телом ничтожно мало. Реакция гладкой поверхности приложена к точке касания тела и поверхности и направлена по нормали к поверхности. Реакция гладкой поверхности не препятствует передвижению тела по поверхности и отрыву его от поверхности. Она является односторонней.

Для плоскости – реакция связи перпендикулярна плоскости (точка А), а для линии пересечения двух плоскостей (ребро, прямая, для плоской задачи – точка), реакция связи направлена перпендикулярно к телу (точка В, рис. 40).

б) Связь – стержень. Два тела могут присоединяться друг к другу одним стержнем, абсолютно жестким на концах с шарнирами (точки А и В). Точки А и В при перемещении тел не могут сближаться (удаляться) друг от друга по направлению связи – связь двусторонняя (рис. 41). Примем одно из тел неподвижным (земля), тогда другое тело (тело 2) имеет возможность перемещаться по дуге радиуса длины стержня (линейное перемещение) и вращаться вокруг точки В (угловое перемещение). Реакция связи будет всегда направлена вдоль стержня (рис. 42б).

В строительных конструкциях, ввиду малых перемещений по направлению, перпендикулярному к положению стержня, связь – стержень заменяют подвижным шарниром (опора на катках, рис. 42в).

в) Связь – шарнир.

Два тела соединяются между собой цилиндрическим шарниром (рис. 43). На плоскости ось шарнира перпендикулярна чертежу (плоскости). Шарнир

препятствует отрыву тела 1 и тела 2 друг от друга. Если тело 1 принять за неподвижное тело (земля), то тело 2 лишено линейных перемещений и возможно только угловое перемещение (вращение) вокруг шарнира. Линейная реакция связи в шарнире может занимать любое положение в плоскости (рис. 44). Но, так как любую силу можем разложить на ее составляющие по осям координат R_x и R_y, то считаем, что шарнир имеет 2 реакции (или 2 связи). Поэтому две связи в виде стержней эквивалентны шарниру (рис. 45). Если тело 1 примем за землю (неподвижное тело), то тело 2 (любая строительная конструкция, система) присоединяется к земле с помощью двух стержней по схеме а) или б) (рис. 46). Шарнир - связь двусторонняя.

Присоединение двух тел (дисков) тремя стержнями (рис.47), не пересекающимися в одной точке, лишает перемещения одного диска по отношению к другому в плоскости по всем трем возможным направлениям. Если одно из тел – земля, то другое тело (диск) будет неподвижным. Однако!

Рассмотрим возможный случай (рис. 48). В опорных стержнях возникают опорные реакции R_B, R_C и R_D. Для их определения имеются три уравнения статики:

, .

, .

, .

Запишем определитель из коэффициентов при неизвестных R_B, R_C, R_D .

Если определитель не равен нулю, то система уравнений решается, а это означает, что конструкция находится в равновесии. Раскроем определитель по

первому столбцу

Конструкция (система), изображенная на рисунке 48, находится в равновесии.

Но если опора «С» своим направлением пересечет точку А, то мы получим h=0 и тогда определитель будет равен нулю. Система уравнений не решается, а это означает, что конструкция мгновенно-изменяемая.

Возможные варианты мгновенно-изменяемой системы (рис. 49).

Присоединение диска к диску тремя стержнями позволяет в практике строительства использовать и так называемую связь – заделку (рис. 50), т. е. конструкция (балка, стержень и т.д.) одним концом заделывается (замоноличивается) в стене, в полу и т. д. (рис. 50). В связи – заделке в плоской задаче возникают три реактивных усилия, соответствующих трем связям: вертикальной Ry, горизонтальной R_x и две вертикальные реакции противоположного направления создают реактивную пару – момент M (рис. 50а). Глубина заделки определяется строительными нормами. Заделка, в которой возникают три реакции, называется глухой заделкой.

Наряду с глухой заделкой, используется и подвижная заделка (рис. 51). В этой заделке только две реакции Ry и M. Диск в такой связи – заделке имеет одну степень свободы – перемещение по оси х.

3. Определение числа степеней свободы сооружения

Для сооружения, состоящего из D – дисков, соединенных между собой шарнирами – Ш и отдельными связями – стержнями – С, а также прикрепленными к земле опорными стержнями - С_ор, число степеней свободы – n подсчитывается:

,

где : 3 – число степеней свободы отдельного незакрепленного диска;

2 – число связей в каждом простом шарнире. Под простым шарниром понимаем шарнир, соединяющий 2 диска. Если в шарнирном узле соединяются больше двух дисков (рис. 52), то число простых шарниров: Ш = D – 1.

При n = 0 система геометрически неизменяемая и статически определимая;

n > 0 - система изменяемая (подвижная);

n < 0 - система геометрически неизменяемая и статически неопределимая.

Примеры:

1) 4 диска соединены последовательно шарнирами и стержнями, опирающимися на опорные стержни (рис. 53).

.

Количество связей достаточно, чтобы сооружение было неподвижно в целом. На этом нельзя успокаиваться. Нужно еще проделать анализ для каждого элемента (диска) сооружения: четвертый диск опирается на три опорных стержня (связей), не пересекающихся в одной точке – диск неподвижен. Третий диск крепится к четвертому с помощью двух связей (неподвижный шарнир) и одной связи - к земле, опять-таки не пересекающимися в одной точке – диск неподвижен. Последующие диски 2 и 1 крепятся так же, как и диск 3. Следовательно, все сооружение неподвижно.

2) Для представленного сооружения (рис. 54)

.

Для сооружения, у которого диски (стержни) соединяются шарнирно в узлах, образуя треугольную или иную структуру, степень свободы легче подсчитывать по формуле:

где: - число шарнирных узлов (У) сооружения; 2 – количество степеней

свободы точки (узла) в плоскости; D – число дисков. Тогда

.

Соединение дисков в треугольник с помощью шарниров создает единый диск (рис. 55а). Однако, если заменить шарниры связями – стержнями, то можно получить мгновенно-изменяемую систему. Посмотрим, когда это возможно и как этого избежать.

Разрежем шарнир В (рис. 55б). Между дисками возникнут реакции в связях R_B и H_B, равные и противоположно направленные. Составим уравнения моментов относительно шарнира А (для сил, приложенных к диску 1) и шарнира С (для сил, приложенных к диску 2).

1. , .

(диск 1)

2. , .

(диск 2)

Получим систему двух уравнений с двумя неизвестными H_B, R_B. Она будет иметь решение, если определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных, не будет равен нулю, т.е.

.

Следовательно, система неизменяемая. Но если h0, то Det = 0. Тогда наша система получается мгновенно-изменяемой. Это равносильно тому, что точки А, В, С лежат на одной прямой (рис. 56).