Тема 2.1: Элементы математической логики
Понятие алгебры-логики. Основные логические операции и логические элементы
Для математического описания работы вычислительных устройств, синтеза и анализа схем (синтез – процесс создания устройства; анализ – упрощение устройства) используется алгебра логики (Белева алгебра). Область алгебры-логики состоит из множества высказываний обозначается A B C…X,Y.
Высказывание – законченное предложение, которое может иметь два значения истинности: либо быть истинным (А – истинно: А=1) либо быть ложным (С – ложно: С=0).
Высказывания могут быть истинными или ложными: первое не зависит от высказываний, а второе образуется из двух и более простых высказываний. Простое высказывание называют логическим переменным, а сложное логической функцией этих переменных переключательный функции (ПФ)
Операции алгебр логики:
Логическое умножение (операция «И», конъюнкция)
F=A^B=A&D=A*B=AB
Схема реализующая эту логическую операцию, называется схемой «И»
На выходе схемы «И» сигнал соответствует логической единице, тогда и только тогда, когда на всех входах одновременно будет сигнал логической единицы. Разрешающим уровнем схемы и является уровень логической единицы схемы «И», логическая функция от «н» переменной будет иметь 2n строк.
Схемы, реализующие логическое умножение:
На выходе схемы «ИЛИ» всегда соответствует логическому нулю, тогда и только тогда, когда на всех входах одновременно будет сигнал логического нуля. Разрешающим для схемы «ИЛИ» является уровень логического нуля.
Сложение по модулю 2
(Операция «исключающее ИЛИ», неравнозначность)
F=A+B
F=ABvAB
А |
В |
А+В |
-А+В |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
Основные законы логики
AvI=1
A=0 A=1
0v1=1 1v1=1
Av-A=1
0v1=1 1v0=1
Тема 2.2: Формы логических функций и их использование для синтеза логических схем.
Формы логических функций:
F=A—C BvAC 1BvAC BA= ABCvA-BCvAB-C= ACvAB= --ACvAB= -AC*-AB
ПФ – могут быть выражены различными логическими формулами, благодаря возможности проведения над ними эквивалентных преобразований. На практике наиболее удобными для представления ПФ оказываются дизъюнктивные и конъюнктивные формы.
Эти формы представляют собой дизъюнкции элементарных конъюнкций или конъюнкций элементарных дизъюнкций.
Конъюнкция(дизъюнкция)
любого числа называется элементарной
если со множетялями(слагаемыми) в ней
являются одиночные аргументы, либо
описание одиночных аргументов.
Дизъюнктивной,
нормальной формой(ДНФ), ПФ называется
дизъюнкция любого числа элементарных
конъюнкций, например:
Ранг элементарной конъюнкции(дизъюнкции) определяется числом переменных входящих в эту конъюнкцию(дизъюнкцию).
Совершенной
ДНФ(СДНФ) ПФ имеющее n
аргументов называется такая форма в
которой все конъюнкции имеют ранг n:
ПФ может быть задана словестно, в виде таблицы истинности логического выражения. По словестному описанию составляют таблицу истинности, а затем записывают СДНФ в ПФ.
СДНФ, ПФ записывается по таблице истинности в следующей Последовательности:
Из таблицы истинности выделяются строки, в которых функция принимает значение единицы.
Записываются составляющие формулы в виде конъюнкции переменных или их отрицания. Если переменная в данном наборе = 1, то она входит в формулу как не отрицательная.
Конъюнкции определяют знаком дизъюнкции.
Пример:
Записать ПФ устройство функционирующего по следующему правилу: Сигнал на выходе схемы = 1, если хотя бы на двух входах из трёх отсутствует уровень логической единицы.
A |
B |
C |
F |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
Конъюнктивные формы представления ПФ используются реже, чем дизъюнктивные. Конъюнктивной, нормально формой(ПНФ) ПФ называется конъюнкция элементарных дизъюнкций:
Все дизъюнкции имеют ранг ПФ:
