4. Генерация случайных чисел

Дополнительной целью данного раздела, помимо основной – заявленной в заголовке, является "освежение" некоторых знаний из области матстатистики.

Несмотря на то, что в настоящее время в большинстве ИСП имеются хорошие готовые датчики псевдослучайных чисел, студент математик должен представлять возможные механизмы генерации псевдослучайных чисел и способы проверки получающихся последовательностей чисел с помощью статистических тестов.

Далее везде речь идет о псевдослучайных числах, равномерно распределенных в интервале [0,1].

К генераторам псевдослучайных чисел предъявляют следующие основные требования:

• числа должны быть равномерно распределены в интервале [0,1] и независимы;

• должно генерироваться достаточно большое число неповторяющихся чисел, то есть период генератора должен быть достаточно длинным;

• последовательность чисел должна быть воспроизводима многократно. Задание иных "начальных условий" должно порождать иную последовательность чисел;

• генератор должен быть очень быстродействующим и требовать мало памяти.

Практически общепризнано, что перечисленным требованиям наилучшим образом удовлетворяет, так называемый, конгруэнтный метод, основанный на следующем рекурсивном уравнении:

z_i+1 = (аz_i + b) (mod c), x_i+1 = z_i+1/c, i = 0,1,…,

где z_i – ненормализованное случайное целое число; z₀ – начальное значение (его иногда называют корнем);

x_i+1  [0,1] – псевдослучайное число.

Выбор констант a, b, c определяет ту или иную разновидность метода. Укажем некоторые из них.

Смешанные конгруэнтные генераторы:

• с = 2^В, где В  разрядность компьютера;

• b – простое относительно с число {наибольший общий делитель b и с равен 1};

• а = 1 + 4k, где k – целое число.

Такой генератор порождает последовательности псевдослучайных чисел с периодом, равным 2^В.

Мультипликативные конгруэнтные генераторы:

• с = 2^В ;

• b =0;

• а = 3 + 8k или а = 1 + 4k, где k – целое число;

• z₀ – нечетно.

Такой генератор порождает последовательности псевдослучайных чисел с периодом, равным 2^В2.

Одна из модификаций мультипликативного конгруэнтного генератора (в отечественной литературе называемая методом вычетов) имеет вид

z₀ =1; z_i+1 = z_i 5^2p+1 (mod 2^В), x_i+1 = z_i+12^В,

где р = max{q | 5^2q+1 < 2^В}.

Каждый студент должен разработать свой датчик случайных чисел, а также программу, генерирующую достаточно длинную последовательность из N случайных чисел и проверяющую эту последовательность с помощью различных статистических тестов (проанализировать смысл параметра B в приведенных методах).

Применить три группы статистических тестов.

1. Рассматривая x₁, x₂, …, x_N как выборку значений случайной величины х, рассчитать выборочные значения моментов для распределения x и сравнить эти выборочные значения с теоретическими, соответствующими равномерному распределению (рассмотреть матожидание, дисперсию, асимметрию и эксцесс).

2. Аналогично с помощью критерия ² Пирсона проверить гипотезу о том, что выборка x₁, x₂, …, x_N соответствует равномерному распределению х в интервале [0,1].

3. Рассматривая последовательность x₁, x₂, …, x_N как временной ряд с дискретным временем t = 1,2,…, исследовать его на стационарность, рассчитав и проанализировав автокорреляционную функцию (см., например, [4], с. 503).

4. Полагая, что неслучайная составляющая временного ряда f(t) = 0,5, перейти к ряду значений возмущения:

₁, ₂, …, _N, где _i = x_i 0,5. (*)

Для ряда (*) с помощью критерия Дарбина-Уотсона проверить гипотезу об отсутствии автокорреляции между соседними значениями ряда (теорию этого критерия взять в книге [4], с. 511).

Оценить зависимость получаемых оценок от длины N последовательности.