3. Некоторые законы распределения случайных величин, используемые в имитационных экспериментах

Целями данного занятия являются:

• графическое построение в среде Delphi или в другой среде функций плотности вероятности f(x) для некоторых "типовых" законов распределения. Соответствующая программа должна вычерчивать график в декартовой системе координат по задаваемым пользователем числовым значениям параметров законов (оси декартовой системы размечать числами). Кроме того, на экран дисплея должны выдаваться численные значения основных параметров законов – матожидание (), среднее квадратическое отклонение (), мода (m).

• разработка "стандартной" подпрограммы (использовать в САМ. РАБ. №1) "розыгрыша случайного числа, распределенного по соответствующему закону распределения, при условии, что в распоряжении программиста имеется датчик псевдослучайных чисел, равномерно распределенных в интервале [0,1].

Далее приводятся варианты "типовых распределений", которые нужно рассмотреть на семинарах. Формулы для расчета параметров студентам не озвучивать – только давать наводящие рекомендации; для вывода формул студентов вызывать к доске. Разработку программ студенты ведут самостоятельно.

"Типовые" распределения

1). Равномерное распределение в заданном интервале [a, b].

2). Треугольное распределение в заданном интервале [a, b]:

f(x) =

3). Экспоненциальное распределение:

;  = 1/; ² = ².

4). Дискретные распределения

Распределение Пуассона. Это пример дискретного распределения. В этом случае f(x) – вероятность реализации конкретного значения случайной величины x  {0, 1, 2, …}. График f(x) должен изображаться отдельными точками.

; ² = .

Биномиальное распределение: пусть р – вероятность реализации какого-то события в одном испытании. Проводится n испытаний. Тогда вероятность того, что указанное событие реализуется ровно в х испытаниях будет даваться формулой:

, x  {0, 1, 2, …, n}. С(n, x) – число сочетаний из n по х.

Дополнительно графически проиллюстрировать следующий факт из теории вероятностей: "Если n велико, а р мало, так что np = ", то пуассоновское распределение аппроксимирует биномиальное".

5). Нормальное распределение.

6). Логарифмически нормальное распределение. Используется при моделировании биологических и экономических систем. Хорошо моделирует процессы, в которых значение наблюдаемой переменной является случайной долей от значения в предыдущем наблюдении. Логнормальное распределение является предельным для распределения произведения независимых положительных случайных величин (как нормальное распределение – для суммы).

f(x) =

( и s² – параметры распределения)

; ; .

7). Гамма-распределение.

f(x) =

(>0 и >0 – параметры распределения)

; ; (эти формулы давать без вывода).

При >1 : ("а при 1 ?")

С туденты должны сами разобраться со способами расчета значений гамма-функции.

С ПРАВКА: гамма-функции для целых и полуцелых аргументов:

Г(n+1) = n!, n0; ; , n1 .

8). Бэта-распределение.

f(x) =

(>0 и >0 – параметры распределения)

; ; (эти формулы давать без вывода).

Параметры гамма- и бэта-распределений "погонять" в широких пределах.

9). Распределение ² с k степенями свободы.

Напоминание: распределением ² с k степенями свободы называют распределение величины х = ² = , где Z_i – имеют нормальное распределение N(0,1).

Соответствующая плотность вероятности имеет вид (х0):

 = k; ² = 2k . (эти формулы давать без вывода).

Распределение ² является частным случаем гамма-распределения.

В программе использовать следующие представления гамма-функции для целых и полуцелых аргументов:

Г(n+1) = n!, n0; ; , n1 .

10). Распределение Стъюдента с k степенями свободы.

Напоминание: распределением Стъюдента называют распределение случайной величины х = , где Z – имеет нормальное распределение N(0,1), а ² – независимая от Z случайная величина, подчиненная распределению ² с k степенями свободы.

Соответствующая плотность вероятности имеет вид:

 = 0; ² = . (эти формулы давать без вывода).

11). Распределение Фишера-Снедекора.

Напоминание: распределением Фишера-Снедекора называют распределение случайной величины х = , где ²(p) и ²(q)  случайные величины, подчиненные распределению ² с p и q степенями свободы, соответственно.

Соответствующая плотность вероятности имеет вид:

(Величины p и q иногда называют степенями свободы числителя и знаменателя, соответственно).

 = , при q>2;

² = , при q>4;

m = , при p>2 (эти формулы давать без вывода).