Решения задач на геометрическое определение вероятности

Задача 1: В прямоугольник 5*4 см² вписан круг радиуса 1,5 см. Какова вероятность того, что точка, случайным образом поставленная в прямоугольник, окажется внутри круга?

Решение: По определению геометрической вероятности искомая вероятность равна отношению площади круга (в который точка должна попасть) к площади прямоугольника (в которой точка ставится), т.е.    Ответ: 0,353

Задача 2: Какова вероятность Вашей встречи с другом, если вы договорились встретиться в определенном месте, с 12.00 до 13.00 часов и ждете друг друга в течение 5 минут?

Решение: Обозначим за х и у время прихода, 0 ≤ х, у ≤ 60 (минут). В прямоугольной системе координат этому условию удовлетворяют точки, лежащие внутри квадрата ОАВС. Друзья встретятся, если между моментами их прихода пройдет не более 5 минут, то есть  y - x < 5, y >0,  x - y < 5, x > y.  Этим неравенствам удовлетворяют точки, лежащие в области G, очерченной красным.  Тогда вероятность встречи равна отношению площадей области G и квадрата, то есть   Ответ: 0,16

Задача 3: На отрезок АВ длины L, брошена точка М так, что любое ее положение на отрезке равновозможно. Найти вероятность того, что меньший из отрезков (АМ или МВ) имеет длину, большую чем L/3.

Решение: Используем геометрическое определение вероятности. Разбиваем отрезок AB длины L числовой оси точками X₁, X₂ на 3 одинаковые части (отрезков), каждый из которых имеет длину L/3. Если точка M не попадет в отрезок AX₁ или X₂B, то выполнится условие задачи (меньший из отрезков AM и MB имеет длину, большую L/3). Следовательно, искомая вероятность равна отношению длины центрального отрезка X₁X₂ к длине всего отрезка L: P=(L/3)/L=1/3.  Ответ: 1/3.

Примеры решений задач на формулу Бернулли

Задача 1: Из n аккумуляторов за год хранения k выходит из строя. Наудачу выбирают m аккумуляторов. Определить вероятность того, что среди них l исправных. n = 100, k = 7, m = 5, l = 3.

Решение: Имеем схему Бернулли с параметрами p=7/100=0,07 (вероятность того, что аккумулятор выйдет из строя), n = 5 (число испытаний), k = 5-3 =2 (число «успехов», неисправных аккумуляторов). Будем использовать формулу Бернулли (вероятность того, что в n испытаниях событие произойдет k раз).  Получаем Ответ: 0,0394.

Задача 2: Устройство, состоящее из пяти независимо работающих элементов, включается за время Т. Вероятность отказа каждого из них за это время равна 0,2. Найти вероятность того, что откажут:  а) три элемента; б) не менее четырех элементов; в) хотя бы один элемент.

Решение: Имеем схему Бернулли с параметрами p = 0,2 (вероятность того, что элемент откажет), n = 5 (число испытаний, то есть число элементов), k (число «успехов», отказавших элементов). Будем использовать формулу Бернулли (вероятность того, что для n элементов отказ произойдет в k элементах):  Получаем а)   - вероятность того, что откажут ровно три элемента из пяти.  б)   - вероятность того, что откажут не менее четырех элементов из пяти (то есть или четыре, или пять). в)   - вероятность того, что откажет хотя бы один элемент (нашли через вероятность противоположного события - ни один элемент не откажет). Ответ: 0,0512; 0,00672; 0,67232.

Задача 3: Сколько следует сыграть партий в шахматы с вероятностью победы в одной партии, равной 1/3, чтобы наивероятнейшее число побед было равно 5?

Решение: Наивероятнейшее число побед k определяется из формулы  Здесь p =1/3 (вероятность победы), q = 2/3 (вероятность проигрыша), n - неизвестное число партий. Подставляя данные значения, получаем: Получаем, что n = 15, 16 или 17.  Ответ: 15, 16, 17.