§4.3. Поверхности вращения.

Поверхность называется поверхностью вращения с осью , если она составлена из окружностей, которые имеют центры на прямой и лежат в плоскостях, перпендикулярных этой прямой.

Пусть в плоскости , задана линия уравнением . При вращении вокруг оси каждая точка этой линии описывает окружность, лежащую в плоскости, параллельной плоскости . Значит, все точки этой окружности имеют одинаковую третью координату. Обозначим – поверхность, полученную при вращении вокруг оси . Выберем некоторую точку и обозначим ту точку линии , на траектории которой и находится точка (рис. 4. 14). Точка принадлежит поверхности в том и только в том случае, когда или . Но , , значит,

. (4.4)

Так как лежит на линии , то ее координаты удовлетворяют уравнению этой линии, поэтому

. (4.5)

Исключив из соотношений (4.4) и (4.5), мы и получаем окончательное уравнение поверхности вращения: .

Вывод: чтобы записать уравнение поверхности, полученной вращением вокруг оси линии, лежащей в плоскости , следует в уравнении этой линии заменить на . Аналогично записываются уравнения поверхностей вращения вокруг других координатных осей: если линия, лежащая в координатной плоскости, вращается вокруг одной из координатных осей, определяющих эту плоскость, то координата, соответствующая второй оси, в уравнении этой линии заменяется на корень.

При поверхностями вращения являются следующие поверхности, заданные каноническими уравнениями: эллипсоид, конус второго порядка, однополостный и двуполостный гиперболоиды, эллиптический параболоид и эллиптический цилиндр.

§ 4.4. Вид и расположение поверхности второго порядка

Для приведения к каноническому виду уравнения второй степени с тремя переменными требуется применять аппарат линейной алгебры, который вы еще не изучали. Тем не менее, в некоторых случаях без него можно обойтись. Справедлива следующая теорема (аналогичная соответствующей теореме для плоскости).

Теорема. Если поверхность второго порядка, заданная уравнением

,

имеет центр симметрии , то его координаты находятся из системы уравнений

(4.8)

Если при помощи параллельного переноса координатных осей начало координат перенести в центр симметрии поверхности второго порядка, то квадратичная часть ее уравнения не изменится, коэффициенты при слагаемых первой степени станут равными нулю, а для нахождения свободного члена нового уравнения следует подставить координаты центра в левую часть уравнения поверхности.

Рассмотрим конкретные примеры.

§4.5. Пересечение поверхности второго порядка с прямой, плоскостью, а также с другой поверхностью второго порядка

Пусть в пространстве заданы две пересекающиеся поверхности и уравнениями и соответственно, и пусть –линия пересечения этих поверхностей. Каждая точка линии удовлетворяет как одному уравнению, так и второму, поэтому линия пересечения поверхностей и задается системой уравнений

Предположим, что из одного уравнения, например, из первого, можно выразить . Подставив во второе уравнение и обозначив , получим систему (обычный школьный метод решения систем). В силу равносильности, обе системы задают одну и ту же линию , только во втором случае она представлена в виде пересечения поверхности с новой поверхностью , заданной уравнением (см. рис (4.22) и (4.23). В последнем уравнении отсутствует , значит, – цилиндрическая поверхность, образующие которой параллельны оси , а уравнение направляющей, лежащей в плоскости , совпадает с уравнением самой цилиндрической поверхности. Из рисунка (4.23) видно, что эта направляющая есть не что иное, как проекция линии на плоскость . Таким образом, уравнение в плоскости задает проекцию линии пересечения поверхностей и на плоскость .

В ывод: чтобы получить уравнение проекции линии пересечения двух поверхностей на плоскость , следует из системы, задающей эту линию пересечения, исключить . Точно так же для проектирования линии пересечения на плоскость следует из системы исключить , а для проектирования на плоскость – исключить .

32