Глава 4. Поверхности второго порядка

В этой главе, как и в предыдущей, будем рассматривать только прямоугольные декартовы системы координат.

§ 4.1. Цилиндры и конусы

Пусть в пространстве заданы некоторая линия и прямая , пересекающая . Поверхность, образованная прямой при ее перемещении параллельно самой себе так, что она все время пересекает линию , называется цилиндрической поверхностью или цилиндром. Прямые, полученные при перемещении прямой , называются образующими этого цилиндра, а линия – его направляющей. Если цилиндр имеет ось симметрии, а направляющая, лежащая в перпендикулярной этой оси плоскости, является окружностью, то цилиндр называется круговым.

П усть в пространстве заданы некоторая линия и точка . Поверхность, образованная прямыми, проходящими через и пересекающими кривую , называется конической поверхностью или конусом. Прямые, из которых состоит конус, называются его образующими, а точка – вершиной. Если конус имеет ось симметрии и все образующие конуса наклонены к ней под одним и тем же углом, то конус называется круговым.

§ 4.2. Канонические уравнения поверхностей второго порядка

Уравнение второй степени с тремя переменными определяется так же, как и с двумя. Точно так же определяется и каноническое уравнение.

П оверхностью второго порядка называется множество точек пространства, удовлетворяющих в некоторой прямоугольной системе координат какому-либо уравнению 2-ой степени.

Для любой поверхности второго порядка в пространстве существует прямоугольная декартова система координат, в которой эта поверхность задается каноническим уравнением. Перечислим все принципиально возможные типы канонических уравнений второй степени с тремя переменными и таким образом классифицируем поверхности второго порядка:

– эллипсоид (рис.4.4);

– мнимый эллипсоид;

– точка ;

– однополостный гиперболоид (рис.4.5);

– двуполостный гиперболоид (рис.4.6);

– конус 2-го порядка (рис.4.7);

– эллиптический параболоид (рис.4.8);

– эллиптический цилиндр (рис.4.9);

– мнимый эллиптический цилиндр;

– прямая (ось Oz);

– гиперболический параболоид (рис.4.10);

– гиперболический цилиндр (рис.4.11);

или – пара пересекающихся плоскостей;

– параболический цилиндр (рис.4.12);

или – пара параллельных плоскостей;

– сдвоенная плоскость;

– пара мнимых параллельных плоскостей.

Ч исла , и в уравнениях эллипсоида, двуполостного и однополостного гиперболоидов, конуса второго порядка, эллиптического и гиперболического цилиндров называются их полуосями. Все эти поверхности симметричны относительно всех координатных осей, всех координатных плоскостей и относительно начала координат. Точки пересечения двуполостного гиперболоида и эллиптического параболоида с осями симметрии называются их вершинами. Вершиной конуса называется его центр симметрии.

Чтобы по каноническому уравнению определить вид поверхности без формального заучивания уравнений, полезно рассуждать в следующей последовательности.

Если каноническое уравнение не содержит одной из переменных, то это один из цилиндров. При этом его образующие параллельны оси, определяемой отсутствующей переменной, а уравнение направляющей, лежащей в перпендикулярной координатной плоскости, совпадает с уравнением самой поверхности.

Если каноническое уравнение содержит все переменные, посмотрим, все ли они в квадратах. Если присутствует слагаемое первой степени, то это один из параболоидов. Какой из них, легко понять по левой части уравнения.

Е сли в каноническом уравнении присутствуют квадраты всех трех переменных, посмотрим на знаки коэффициентов при квадратах. В случае, когда все эти коэффициенты одного знака, мы имеем либо эллипсоид, действительный или мнимый, либо точку. При из уравнения эллипсоида получаем частный случай – уравнение сферы.

Е сли в каноническом уравнении присутствуют квадраты всех трех переменных, но они разных знаков, то рассматриваемая поверхность либо один из гиперболоидов, либо конус второго порядка. Конус выделяется тем, что он проходит через начало координат, что легко проверяется подстановкой. Так как переменных всего три, то два коэффициента при квадратах будут иметь одинаковый знак, а третий – противоположный. Таким образом, две переменные будут равноправными, а третья – особенной. Конус или гиперболоид всегда «вытянуты» вдоль оси, определяемой особенной переменной. Чтобы отличить однополостный гиперболоид от двуполостного, следует положить равной нулю эту особенную переменную. Если в сечении получился эллипс, то гиперболоид однополостный, если пустое множество – двуполостный.