§ 3.2. Касательные к эллипсу, гиперболе, параболе. Оптические свойства
Касательная
к линии
в точке
,
принадлежащей этой линии, задается
следующим уравнением:
(D) , если – эллипс ; (3.8)
,
если
– гипербола
;
(3.9)
(E) , если – парабола . (3.10)
Оптическими называют следующие свойства:
лучи света, выходящие из одного фокуса эллипса, после отражения от эллипса проходят через другой его фокус;
лучи света, выходящие из одного фокуса гиперболы, после отражения от гиперболы кажутся выходящими из другого ее фокуса;
лучи света, выходящие из фокуса параболы, после отражения от нее образуют пучок лучей, параллельных оси параболы.
§3.3. Полярные уравнения эллипса, гиперболы и параболы
П
олярная
система координат.
Выберем на плоскости некоторую точку
О,
назовем ее полюсом, и проведём луч с
началом в этой точке, который назовём
полярной осью. Каждой точке
плоскости поставим в соответствие
упорядоченную пару чисел
,
где
– расстояние от точки
до полюса, а
– угол между полярной осью и радиус-вектором
точки
(рис.3.6). Получим соответствие между
множеством точек плоскости и множеством
упорядоченных пар действительных чисел.
Если
,
а
или
,
то это соответствие будет взаимно
однозначным на плоскости с выколотой
точкой (полюсом).
В случае, когда полюс полярной системы координат совпадает с началом координат прямоугольной декартовой системы, а полярная ось и ось абсцисс сонаправлены, то прямоугольные декартовы и полярные координаты связаны соотношениями:
,
;
(3.12)
,
,
.
(3.13)
Поместим полюс полярной системы координат в фокус эллипса, а полярную ось проведем перпендикулярно соответствующей этому фокусу директрисе в направлении от нее. В этой полярной системе координат уравнение эллипса (полярное уравнение эллипса) будет иметь вид
,
(3.14)
где
– расстояние от фокуса эллипса до
соответствующей этому фокусу директрисы,
–
эксцентриситет. Точно так же выглядит
полярное уравнение параболы, если полюс
помещен в ее фокус, а полярная ось
проведена перпендикулярно директрисе
в направлении от нее. Такой же вид имеет
и полярное уравнение ветви гиперболы,
если полюс помещен в соответствующий
этой ветви фокус, а полярная ось проведена
перпендикулярно соответствующей
директрисе в направлении от нее. В этой
же полярной системе противоположная
ветвь гиперболы задается уравнением
.
Число
в полярном уравнении эллипса, гиперболы
или параболы называется фокальным
параметром. Если
– фокус эллипса
или гиперболы
,
а
– соответствующая этому фокусу
директриса, то
.
(F)§ 4. Приведение уравнения линии второго порядка к каноническому виду
Уравнением второй степени с двумя переменными называется уравнение вида
,
(3.19)
в
котором
.
Уравнение второй степени с двумя (или тремя) переменными называется каноническим, если оно удовлетворяет следующим условиям:
не
содержит произведения переменных (
при
);
если
содержит квадрат какой-либо переменной,
то не содержит её первой степени (
);
если
содержит первую степень, то только одной
переменной, и тогда свободный член равен
нулю (
);
Если свободный член не равен нулю, то он равен 1 или –1.
Линией второго порядка называется множество точек плоскости, которые в некоторой прямоугольной декартовой системе координат удовлетворяют какому-либо уравнению 2-й степени.
Теорема. Для любой линии второго порядка на плоскости существует прямоугольная декартова система координат, в которой эта линия задается каноническим уравнением.
Покажем на конкретных примерах, как практически привести уравнение линии второго порядка к каноническому виду.
Теорема. Если линия второго порядка, заданная уравнением (3.19), имеет центр симметрии , то координаты этого центра находятся из системы уравнений
(3.27)
Если
при помощи параллельного переноса
начало координат поместить в центр
симметрии линии, то ее уравнение
преобразуется следующим образом:
квадратичная часть
не меняется,
коэффициенты при первых степенях
становятся равными нулю,
свободный член находится по формуле
(т.е., чтобы найти новый свободный член,
следует координаты центра подставить
в левую часть уравнения линии).
Проиллюстрируем применение теоремы на следующем примере.
