§2.3. Прямая в пространстве

Уравнения прямой, проходящей через данную точку коллинеарно ненулевому вектору. Уравнения прямой проходящей через точку , называемую начальной точкой прямой, параллельно данному вектору , называемым направляющим вектором прямой, имеют вид

(2.23)

Уравнения (2.23) называются каноническими уравнениями прямой.

Уравнения прямой:

(2.24)

где параметр , называются параметрическими уравнениями прямой.

Эти уравнения в векторной форме принимают вид

. (2.25)

Уравнение (2.25) называется векторно–параметрическим уравнением прямой.

Векторным уравнением прямой называется уравнение

которое равносильно уравнению (2.25).

Прямая как линия пересечения двух плоскостей. Прямую можно представить как линию пересечения двух различных плоскостей, т. е. системой уравнений:

(2.26)

Взаимное расположение двух прямых Пусть две прямые заданы каноническими уравнениями

, (2.27)

. (2.28)

Различают следующие случаи взаимного расположения двух прямых в пространстве: 1) прямые совпадают 2) параллельны , 3) прямые пересекаются в одной точке, 4) прямые скрещиваются.

Укажем для каждого из этих случаев условия, которым должны удовлетворять коэффициенты уравнений (2.27) и (2.28).

1)Для того чтобы две прямые, заданные уравнениями (2.27) и (2.28), совпадали необходимо и достаточно, чтобы все векторы: , , — были коллинеарны.

2)Для того чтобы две прямые, заданные уравнениями (2.27) и (2.28), были параллельны необходимо и достаточно, чтобы векторы: и были коллинеарны, а вектор был им неколлинеарен.

3)Для того чтобы две прямые, заданные уравнениями (2.27) и (2.28), пересекались необходимо и достаточно, чтобы векторы ,

, были компланарны т. е. их смешанное произведение равнялось нулю, а векторы и — неколлинеарны.

4)Для того чтобы две прямые, заданные уравнениями (5) и (6), скрещивались ( т. е. не лежали в одной плоскости) необходимо и достаточно, чтобы векторы , , были некомпланарны т. е. их смешанное произведение не равнялось нулю.

Угол между двумя прямыми. Угол между двумя прямыми в пространстве, заданными своими каноническими уравнениями

и

равен углу между их направляющими векторами и

как углы с соответственно параллельными сторонами.

Косинус угла между двумя прямыми вычисляется по формуле:

. (2.29)

Необходимым и достаточным условием перпендикулярности двух прямых является равенство .

§2.4. Плоскости и прямые в пространстве

Пусть прямая задана каноническими уравнениями

, (2.30)

а плоскость задана общим уравнением

. (2.31)

Р азличают следующие случаи расположения прямой и плоскости: 1) прямая пересекается с плоскостью в одной точке, 2) прямая параллельна плоскости, 3) прямая принадлежит плоскости. Укажем для каждого из этих случаев условия, которым должны удовлетворять коэффициенты уравнений (2.30) и (2.31).

1) Для того чтобы прямая и плоскость, пересекались необходимо и достаточно, чтобы: , где —направляющий вектор прямой, — нормальный вектор плоскости.

2) Для того чтобы прямая и плоскость, были параллельны необходимо и достаточно, чтобы: и .

3) Для того чтобы прямая лежала на плоскости, необходимо и достаточно, чтобы: и .

Углом между прямой и плоскостью называется меньший из двух углов между этой прямой и ее ортогональной проекцией на эту плоскость(см.рис. 2.16).

Пусть относительно декартовой прямоугольной системы координат задана плоскость и прямая каноническими уравнениями .

Косинус угла между вектором , перпендикулярным данной плоскости и направляющим вектором данной прямой по абсолютной величине равен синусу угла между данной прямой и данной плоскостью (рис. 2.16). Косинус угла между векторами и равен

,

следовательно синусу угла между данной прямой и данной плоскостью определяется по формуле

. (2.32)

Для того чтобы прямая была перпендикулярна плоскости, необходимо и достаточно , чтобы векторы и были коллинеарны.

Статья I.ГЛАВА 3. ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА

(a)В этой главе мы будем считать, что на плоскости задана прямоугольная декартова система координат, если не оговорено противное.

(b)§ 3.1. Определения эллипса, гиперболы, параболы и их

(c)канонические уравнения

Эллипс. Пусть на плоскости заданы две точки F₁ и F₂, расстояние между которыми равно 2c и, кроме того, задано число a, большее c. Эллипсом называется множество точек плоскости, для каждой из которых сумма расстояний до точек F₁ и F₂, называемых фокусами эллипса, есть число постоянное, равное 2а.

В прямоугольной декартовой системе координат, в которой ось проходит через фокусы эллипса, а ось – перпендикулярно ей через середину отрезка F₁F_2, эллипс задается уравнением:

, (3.1)

к оторое называется каноническим. В этом уравнении , , и числа , и связаны соотношением .

Эллипс (3.1) пересекает ось в точках A₁(–a; 0), A₂(a; 0)), а ось – в точках B₁(0; –b), B₂(0; b). Эти четыре точки называются вершинами эллипса. Числа а и b называются полуосями эллипса, большой (или фокальной) и малой соответственно. Эллипс, заданный уравнением (3.1), изображен на рис.3.1.

Заметим, что при уравнение (3.1) также задает эллипс, но его фокусы лежат на оси ординат. Если же , то уравнение (3.1) задает окружность радиуса с центром в начале координат. В этом случае c= 0. Таким образом, окружность – это частный случай эллипса с совпадающими фокусами.

Гипербола. Пусть на плоскости заданы две точки F₁ и F₂, расстояние между которыми равно 2c и, кроме того, задано положительное число a, меньшее c. Гиперболой называется множество точек плоскости, для каждой из которых модуль разности расстояний до точек F₁ и F₂, называемых фокусами гиперболы, есть число постоянное, равное 2а.

В прямоугольной декартовой системе координат, в которой ось проходит через фокусы гиперболы, а ось – перпендикулярно ей через середину отрезка F₁F_2, гипербола задается уравнением:

, (3.2)

в котором , а числа , и связаны соотношением . Уравнение (3.2) называется каноническим.

Г ипербола (3.2) пересекает ось в точках A₁(–a; 0) и A₂(a; 0), которые называются вершинами гиперболы, а ось гипербола не пересекает. Та ось гиперболы, которую она пересекает, называется действительной (или фокальной) осью, а та, которую не пересекает – мнимой. Числа a и b называются полуосями гиперболы, действительной и мнимой соответственно.

Прямые называются асимптотами гиперболы (3.2). При неограниченном удалении от начала координат гипербола бесконечно близко приближается к своей асимптоте, не пересекая её. Гипербола (3.2) изображена на рис.3.2.

Заметим, что уравнение

(3.3)

также задаёт гиперболу, но ее действительной осью является ось . Гиперболы, заданные уравнениями (3.2) и (3.3), называются сопряженными. Сопряженные гиперболы имеют одинаковые асимптоты, а действительные оси их взаимно перпендикулярны.

Парабола. Пусть на плоскости заданы прямая  и точка F на расстоянии p от неё. Параболой называется множество точек плоскости, для каждой из которых расстояние до точки F, называемой фокусом параболы, равно расстоянию до прямой , называемой ее директрисой.

В прямоугольной декартовой системе координат, в которой ось проходит через фокус параболы перпендикулярно директрисе в направлении от нее, ось – посредине между фокусом и директрисой параллельно последней, парабола задается уравнением:

, (3.4)

оно и называется каноническим. Число p в этом уравнении (расстояние от фокуса до директрисы) носит название фокального параметра. Парабола, заданная уравнением (3.4), изображена на рис.3.3.

Следует заметить, что уравнения , и также задают параболы с вершинами в начале координат, но с другим направлением ветвей.

Эксцентриситет и директрисы эллипса и гиперболы. Эксцентриситетом эллипса называется число , равное отношению половины расстояния между фокусами эллипса к его большой полуоси. Эксцентриситетом гиперболы называется число , равное отношению половины расстояния между фокусами гиперболы к ее действительной полуоси.

Директрисами эллипса (гиперболы) называются прямые, перпендикулярные его большой (действительной) оси и отстоящие от центра на расстоянии, равном отношению большой (действительной) полуоси к эксцентриситету.

Для эллипса (3.1) при и гиперболы (3.2) эксцентриситет , а директрисы задаются уравнениями . Следует отметить, что для эллипса , а для гиперболы . Эксцентриситет параболы по определению считается равным 1.

Теорема (основное свойство эллипса и гиперболы по отношению к директрисам). Для того чтобы некоторая точка плоскости принадлежала заданному эллипсу (гиперболе) необходимо и достаточно, чтобы отношение расстояния от этой точки до фокуса эллипса (гиперболы) к расстоянию до соответствующей этому фокусу директрисы равнялось бы эксцентриситету данного эллипса (гиперболы).

Это же свойство справедливо и для параболы (вытекает из определения).