§2.2. Плоскость

Общее уравнение плоскости. Уравнением первой степени от трех переменных называют уравнение

, (2.14)

где хотя бы один из коэффициентов при неизвестных отличен от нуля.

Уравнение плоскости может быть задано уравнением (2.14) и всякое уравнение (2.14) является уравнением плоскости. Это уравнение называют общим уравнением плоскости.

В прямоугольной декартовой системе координат вектор перпендикулярен плоскости и называется нормальным вектором плоскости. Уравнение плоскости проходящей через точку , называемую начальной точкой плоскости, перпендикулярно вектору имеет вид( рис 2.7)

В векторной форме уравнение плоскости запишется следующим образом

,

где — радиус вектор начальной точки , — радиус вектор любой точки плоскости.

Уравнение плоскости может быть так же записано в виде

У равнение плоскости, проходящей через данную точку компланарнарно двум неколлинеарным векторам.

Уравнение плоскости , проходящей через точку параллельно двум неколлинеарным векторам и имеет вид (рис. 2.8).

. (2.15)

Уравнение (2.15) в векторной форме имеет вид

.

Параметрические уравнения плоскости. Параметрические уравнения плоскости имеют вид:

(2.16)

где параметры , и неколлинеарные векторы параллельные плоскости .

Уравнение (2.16) может быть записано в векторной форме

.

Пучок плоскостей. Совокупность всех плоскостей проходящих через одну и ту же прямую, называемую осью пучка, называют пучком плоскостей.

Если ось пучка задана как линия пересечения двух плоскостей

то уравнение пучка имеет вид

,

где и – любые действительные числа, неравные нулю одновременно .

Пусть две плоскости заданы своими общими уравнениями

, (2.17)

. (2.18)

Различают следующие случаи взаимного расположения плоскостей: 1) пересекаются по прямой, 2) параллельны, 3) совпадают.

Укажем условия, которым удовлетворяют коэффициенты уравнений (2.17) и (2.18) в каждом из перечисленных случаев.

1)Для того чтобы плоскости, заданные уравнениями (2.17) и (2.18), пересекались, необходимо и достаточно, чтобы соответствующие коэффициенты при в уравнениях (2.17) и (2.18) были не пропорциональны.

2) Для того чтобы плоскости, заданные уравнениями (2.17) и (2.18), были параллельны, необходимо и достаточно, чтобы соответствующие коэффициенты при в уравнениях (2.17) и (2.18) были пропорциональны, но чтобы свободные члены не были им пропорциональны , т. е. чтобы существовало такое число , что .

3) Для того чтобы плоскости, заданные уравнениями (2.17) и (2.18), совпадали необходимо и достаточно, чтобы все коэффициенты в уравнениях (2.17) и (2.18) были пропорциональны , т. е. чтобы существовало такое число , что .

Угол между двумя плоскостями. Угол между двумя плоскостями и равен углу между их нормальными векторами и , как углы с соответственно перпендикулярными сторонами. Поэтому косинус угла вычисляется по формуле:

. (2.19)

Если , то — тупой угол между плоскостями, а так как по определению угла между плоскостями требуется найти острый угол, то искомым будет угол: ( .

Необходимым и достаточным условием перпендикулярности двух плоскостей является равенство .

Расстояние от точки до плоскости. Расстояние от точки до плоскости , заданной общим уравнением вычисляется по формуле

. (2.20)

Геометрический смысл знака четырехчлена. Рассмотрим неравенства

(2.21)

(2.22)

Неравенству (2.21) удовлетворяют координаты тех и только тех точек, которые лежат в одном из двух полупространств, определяемых плоскостью ; неравенству (2.22) удовлетворяют точки второго полупространства и только они.

Таким образом, плоскость делит пространство на два полупространства. Полупространство, определяемое неравенством (2.21) называют положительным полупространством, а полупространство, определяемое неравенством (2.22) — отрицательным полупространством.

Отклонением точки от плоскости назовем расстояние , взятое со знаком плюс, если лежит в положительном полупространстве, и со знаком минус, если лежит в отрицательном полупространстве.