§ 1.5. Смешанное и двойное векторное произведения векторов

Смешанным произведением векторов , и называется число, которое обозначается и определяется равенством .

Смешанное произведение обладает следующими свойствами:

1)

2)  ;

3)  ;

4)  ;

5 ) Смешанное произведение равно объему параллелепипеда, построенного на векторах , и , отложенных от одной точки, взятому со знаком плюс если тройка правая (рис. 1.10), со знаком минус, если эта тройка левая;

6) равенство является необходимым и достаточным условием компланарности векторов , , .

Если векторы , , заданы в ортонормированном базисе координатами , , то

.

Глава 2. Прямая и плоскость

§ 2.1. Прямая на плоскости

В этой главе будем считать, что на плоскости задана прямоугольная декартова система координат.

Параметрические и каноническое уравнения прямой на плоскости. Направляющим вектором прямой называется любой ненулевой вектор , параллельный этой прямой. Если на плоскости заданы точка и ненулевой вектор , то на этой плоскости существует единственная прямая , проходящая через точку параллельно вектору . Эта прямая может быть задана уравнением:

, (2.1)

которое называется векторным параметрическим уравнениями прямой. Если и , то уравнение (2.1) равносильно системе

, (2.2)

или, при условии , уравнению

. (2.3)

Уравнения (2.2) называются параметрическими уравнениями, а уравнение (2.3) – каноническим уравнением прямой на плоскости. Следует помнить, что в этих уравнениях и – координаты некоторой фиксированной точки заданной прямой, а и – координаты ее направляющего вектора.

Общее уравнение прямой на плоскости. Нормальным вектором прямой на плоскости называется любой ненулевой вектор этой плоскости, перпендикулярный заданной прямой.

Пусть на плоскости заданы точка и ненулевой вектор . Тогда на этой плоскости существует единственная прямая , проходящая через точку перпендикулярно вектору . Эта прямая задается уравнениями:

или , (2.4)

которые мы будем называть общими уравнениями прямой на плоскости в векторной форме. Если , и , то из уравнений (2.4) получим следующие уравнения прямой на плоскости:

(2.5)

и

. (2.6)

Так как вектор ненулевой, то в уравнениях (2.5) и (2.6)

. (2.7) Уравнение (2.6) называется общим уравнением прямой на плоскости. Следует помнить, что в общем уравнении прямой на плоскости коэффициенты при неизвестных являются координатами нормального вектора этой прямой. Уравнение (2.6) с условием (2.7) называется уравнением первой степени.

Теорема. Если на плоскости задана прямоугольная декартова система координат, то любая прямая на этой плоскости может быть задана уравнением первой степени. Обратно: любое уравнение первой степени в прямоугольной декартовой системе координат на плоскости задает прямую.

Уравнение прямой на плоскости с угловым коэффициентом. Угловым коэффициентом прямой на плоскости называется тангенс угла наклона прямой к оси . Уравнение прямой, проходящей через точку с угловым коэффициентом имеет вид

. (2.8)

После приведения подобных его можно записать и так: .

Вывод: для того, чтобы составить уравнение прямой на плоскости, следует знать на этой прямой какую-то точку, которая называется начальной точкой, и либо направляющий вектор прямой, либо нормальный, либо угловой коэффициент.

Заметим, что нормальный и направляющий векторы прямой на плоскости связаны следующим образом: если – нормальный вектор некоторой прямой, то – ее направляющий вектор. Действительно, скалярное произведение этих векторов равно нулю. Таким образом, чтобы из нормального вектора прямой на плоскости получить направляющий или наоборот, следует координаты вектора поменять местами и у одной из них поменять знак.

Взаимное расположение прямых на плоскости. Для того, чтобы две прямые на плоскости совпадали необходимо и достаточно, чтобы соответствующие коэффициенты при неизвестных и свободные члены в их общих уравнениях были пропорциональны.

Для параллельности двух прямых на плоскости необходимо и достаточно, чтобы соответствующие коэффициенты при неизвестных в их общих уравнениях были пропорциональны, а свободные члены им не пропорциональны.

Для пересечения двух прямых на плоскости необходимо и достаточно, чтобы соответствующие коэффициенты при неизвестных в их общих уравнениях не были пропорциональны.

Расстояние от точки до прямой на плоскости. Пусть на плоскости заданы прямая своим общим уравнением и некоторая точка . Расстояние от точки до заданной прямой вычисляется по формуле

. (2.9)

Если прямая на плоскости задана общим уравнением в векторной форме , а точка имеет радиус-вектор , то .

Таким образом, расстояние от точки до прямой на плоскости численно равно модулю результата подстановки точки в общее уравнение этой прямой, деленному на длину нормального вектора.

Т

Рис.1

еорема. Всякая прямая на плоскости делит плоскость на две полуплоскости так, что для всех точек одной полуплоскости результат подстановки координат точки в левую часть общего уравнения прямой есть число положительное ( ), а для всех точек другой – отрицательное ( ).

Пучок прямых. Пучком прямых называется совокупность всех прямых, проходящих через одну и ту же точку – центр пучка.

Пусть на плоскости заданы две прямые и , проходящие через одну и ту же точку . При любых значениях и , не равных нулю одновременно, уравнение

(2.10)

задает прямую, проходящую через точку , и обратно, каждая прямая, проходящая через , задается уравнением (2.10) при некоторых значениях и . Поэтому уравнение (2.10) называется уравнением пучка прямых с центром в точке .

Угол между прямыми на плоскости. Под углом между двумя пересекающимися прямыми понимается меньший из углов, определяемых этими прямыми. Пусть на плоскости заданы две прямые уравнениями и . Если – угол между ними, то

. (2.11)

Из последней формулы вытекает условие перпендикулярности: прямые с угловыми коэффициентами и перпендикулярны в том и только в том случае, когда .