§ 1.2. Координаты векторов

Базисом на прямой называется любой ненулевой вектор на этой прямой, базисом на плоскости — упорядоченная пара двух неколлинеарных векторов этой плоскости, базисом в пространстве — упорядоченная тройка некомпланарных векторов.

Пусть — некоторая произвольная точка пространства, векторы образуют базис, тогда четверка называется репером или аффинной системой координат, а точка — началом координат. Пусть в пространстве заданы три взаимно перпендикулярные векторы , , , каждый из которых имеет длину 1. Система координат называется декартовой прямоугольной системой координат.

Рассмотрим упорядоченную тройку некомпланарных векторов . Отложим эти векторы от некоторой точки , т.е. постоим векторы . Если в плоскости кратчайший поворот отрезка к , наблюдаемый из , осуществляется против часовой стрелки, то тройка векторов называется правой. В противном случае эта тройка называется левой. Если тройка векторов является правой (левой), то соответствующая аффинная система координат называется правой (левой). В дальнейшем мы будем пользоваться правыми системами координат.

Теорема. Пусть в пространстве задан некоторый базис , тогда для любого вектора существует единственная упорядоченная тройка действительных чисел , что

.

Равенство называется разложением вектора по базису , а коэффициенты разложения — координатами вектора в этом базисе. При этом пишут или .

Теорема. Линейные операции над векторами, заданными координатами в одном и том же базисе, сводятся к соответствующим линейным операциям над одноименными координатами.

Если даны два векторы , и два действительных числа , то .

§ 1.3. Скалярное, векторное, смешанное, двойное векторное произведения векторов

Скалярным произведением вектора на вектор называется число, которое обозначается и определяется равенством

.

Скалярное произведение обладает следующими свойствами:

1) (коммутативность);

2) (дистрибутивность);

3)  (ассоциативность относительно скалярного множителя);

4)  (критерий ортогональности);

5)  (скалярный квадрат вектора);

6)  ;

Если векторы и заданы в базисе координатами , , то

, ,

.

Если вектор образует с базисными векторами углы соответственно, то величины называются направляющими косинусами вектора .

§ 1.4. Векторное произведение векторов

Векторным произведением вектора на называется вектор, который обозначается и удовлетворяет следующим условиям:

1) ,

2) вектор ортогонален векторам и ,

3) ориентация тройки векторов совпадает с ориентацией базиса.

Так как мы условились рассматривать правые системы координат, то в дальнейшем будем требовать, чтобы тройка векторов была правой (рис. 1.9).

Векторное произведение обладает следующими свойствами:

1) (антикоммутативность);

2) (дистрибутивность);

3)  (ассоциативность относительно скалярного множителя);

4) (критерий коллинеарности);

5) Геометрический смысл векторного произведения векторов: модуль векторного произведения равен площади параллелограмма, построенного на векторах и , отложенных от одной точки.

Если векторы и заданы в ортонормированном базисе координатами , , то

.