Глава 1. Элементы векторной алгебры

§ 1.1. Линейные операции над векторами

Направленным отрезком называется отрезок, для которого известно, какая из двух ограничивающих его точек является началом и какая концом. Направленный отрезок, у которого начало в точке , а конец в обозначается . Нулевым направленным отрезком называется пара совпадающих точек.

Два направленных отрезка и называются одинаково (противоположно) направленными, если лучи и одинаково (противоположно) направлены. Нулевой направляющий отрезок считается одинаково направленным с любым направляющим отрезком. Длиной направленного отрезка называется длина отрезка .

Два направленных отрезка и называются эквивалентными, если они одинаково направлены и имеет одну и ту же длину. Множество всех направленных отрезков разбивается на непересекающиеся классы эквивалентных друг другу отрезков. Свободным вектором (или просто вектором) называется класс эквивалентных направленных отрезков. Для задания вектора, т.е. класса эквивалентных направленных отрезков, достаточно указать какой-либо один отрезок из этого класса. Вектор, определяемый отрезком , обозначается символом . Для обозначения векторов мы будем пользоваться также малыми латинскими буквами со стрелкой сверху: Нулевой вектор, т.е. класс всех нулевых отрезков, будем обозначать .

Два вектора называются равными, если они совпадают как классы эквивалентных направленных отрезков.

Пусть заданы вектор и точка . Очевидно, существует единственная точка , такая, что . Операцию построения такой точки будем называть откладыванием вектора от точки .

Длиной вектора называется длина любого из направленных векторов, представляющего этот вектор. Длина вектора обозначается или .

Углом между векторами и называется угол между представителями этих векторов, отложенными от одной точки, т.е угол между отрезками и , если ,

Векторы называются коллинеарными (компланарными), если направленные отрезки, которые их определяют, параллельны некоторой прямой (плоскости).

Пусть заданы два вектора и . Возьмем какую-либо точку и отложим от нее вектор , т.е. найдем такую точку , что . Далее, от точки отложим вектор , т.е. найдем точку , что . Вектор называется суммой векторов и и обозначается (рис. 1.1). Указанный способ построения вектора называется правилом замыкающей. Заметим, что определение операции сложения векторов корректно, т.е. результат не зависит от выбора точки О.

Приведем еще одно правило сложения векторов, называемое правилом параллелограмма. Пусть и — неколлинеарные векторы. Отложим от произвольной точки эти векторы, т.е. найдем такие точки и , что и . В плоскости построим параллелограмм на сторонах и . Тогда вектор будет определять вектор (рис. 1.2.).

Пусть — произвольный вектор. Отложим от некоторой точки вектор . Вектор называется противоположным вектору и обозначается .

Произведением вектора на действительное число называется вектор, который обозначается и удовлетворяет следующим условиям

а) длина вектора равна ;

б) векторы и имеют одно и тоже направление, если , и противоположные направления, если .

Заметим, что в случае, когда , , значит, для любого вектора произведение .

Для любых векторов и действительных чисел имеют место следующие свойства:

1) (коммутативный или переместительный закон);

2) (сочетательный или ассоциативный закон);

3) (закон поглощения нулевого вектора);

4) (существование противоположного вектора);

5) (распределительный или дистрибутивный закон);

6) (распределительный или дистрибутивный закон);

7) (сочетательный или ассоциативный закон);

8) .

Теорема 1 (критерий коллинеарности). Для того чтобы векторы и были коллинеарными необходимо и достаточно, чтобы один из них можно было представить как произведение другого на число, т.е., чтобы существовало действительное число такое, что , или существовало бы число такое, что .

Теорема 2 (критерий компланарности). Для того чтобы три вектора были компланарными необходимо и достаточно, чтобы один из них можно было представить в виде линейной комбинации двух других, причем, если векторы и неколлинеарные, то всякий третий компланарный им вектор может быть единственным способом представлен в виде .