31. Туннельный эффект.

В результате туннельного эффекта микрообъект может «пройти» сквозь потенциальный барьер.

Для описания туннельного эффекта используют понятие коэффициента про­зрачности D потенциального барьера, оп­ределяемого как отношение плотности по­тока прошедших частиц к плотности по­тока падающих. Можно показать, что

D=|A₃|²/|A₁|².

Для того чтобы найти отношение |А₃/А₁|², необходимо воспользоваться условиями непрерывности  и ' на границах барьера х=0 и х=l (рис. 298):

Эти четыре условия дают возможность выразить коэффициенты А₂, а₃, В₁ и В₂ через А₁. Совместное решение уравнений (221.6) для прямоугольного потенциаль­ного барьера дает (в предположении, что коэффициент прозрачности мал по сравне­нию с единицей)

где U — высота потенциального барьера, Е — энергия частицы, l — ширина барь­ера, Do — постоянный множитель, кото­рый можно приравнять единице. Из выражения (221.7) следует, что D сильно зависит от массы m частицы, шири­ны l барьера и от (U-E); чем шире барь­ер, тем меньше вероятность прохождения сквозь него частицы.

Для потенциального барьера произ­вольной формы (рис.299), удовлетворяю­щей условиям так называемого квазиклас­сического приближения (достаточно глад­кая форма кривой), имеем

где U=U(x).

С классической точки зрения прохож­дение частицы сквозь потенциальный барьер при E<U невозможно, так как частица, находясь в области барьера, до­лжна была бы обладать отрицательной кинетической энергией. Туннельный эф­фект является специфическим квантовым эффектом. Прохождение частицы сквозь область, в которую, согласно законам классической механики, она не может про­никнуть, можно пояснить соотношением неопределенностей. Неопределенность им­пульса p на отрезке x=l составляет p>h/l. Связанная с этим разбросом в значениях импульса кинетическая энер­гия (p)²/(2m) может оказаться достаточ­ной для того, чтобы полная энергия части­цы оказалась больше потенциальной.

Основы теории туннельных переходов заложены работами Л. И. Мандельштама и М. А. Леонтовича (1903—1981). Тун­нельное прохождение сквозь потенциаль­ный барьер лежит в основе многих явле­ний физики твердого тела (например, яв­ления в контактном слое на границе двух

полупроводников), атомной и ядерной фи­зики (например, -распад, протекание термоядерных реакций).

32. Атом водорода

Потенциальная энергия взаимодейст­вия электрона с ядром, обладающим за­рядом 2е (для атома водорода Z=1),

U(r)=-Ze²/4₀r, (223.1)

где r — расстояние между электроном и ядром.

Состояние электрона в атоме водорода описывается волновой функцией , удов­летворяющей стационарному уравнению Шредингера (217.5), учитывающему значение (223.1):

где т — масса электрона, Е — полная энергия электрона в атоме.

1. Энергия.

Самый нижний уро­вень Е₁, отвечающий минимальной воз­можной энергии,— основной, все осталь­ные (E_n>E₁ n=2, 3, ...) — возбужденные. При E<0 движение электрона является связанным — он находится внут­ри гиперболической «потенциальной ямы. По мере роста главного квантового числа n энергетиче­ские уровни располагаются теснее и при n= E_=0. При E>0 движение элек­трона является свободным; область непре­рывного спектра £>0 соответствует ионизованному атому. Энергия ионизации атома водорода равна E_i=-E₁= те⁴/ (8h²²₀)=13,55 эВ.

2. Квантовые числа. Главное квантовое число n определяет энергетические уровни электрона в атоме и может принимать любые целочисленные значения начиная с единицы: n=1,2,3, ....

момент импульса электрона квантуется, т. е. не может быть произволь­ным, а принимает дискретные значения, определяемые формулой L_e=h(l(l+1)), (223.4)

где l — орбитальное квантовое число, ко­торое при заданном n принимает значения

l=0, 1, ..., (n-1), (223.5) т. е. всего n значений, и определяет мо­мент импульса электрона в атоме.

Вектор L_e момента им­пульса электрона может иметь лишь такие ориентации в пространстве, при которых его проекция L_ez на направление z внешне­го магнитного поля принимает квантован­ные значения, кратные h

L_еz=hm_l, (223.6)

где m_l — магнитное квантовое число, кото­рое при заданном l может принимать зна­чения

m_l=0, ±1, ±2, ..., ±l, (223.7)

т. е. всего 2l+1 значений. Таким образом, магнитное квантовое число m_l определяет проекцию момента импульса электрона на заданное направление, причем вектор мо­мента импульса электрона в атоме может иметь в пространстве 2l+1 ориентации.

Расщепление энергетических уровней в магнитном поле получило название эффекта Зеемана. Расщепление уровней энергии во внешнем электрическом поле назы­вается эффектом Штарка.

3. Спектр. В квантовой механике вводятся прави­ла отбора, ограничивающие число воз­можных переходов электронов в атоме, связанных с испусканием и поглощением света. Теоретически доказано и экспери­ментально подтверждено, что для дипольного излучения электрона, движущегося в центрально-симметричном поле ядра, могут осуществляться только такие пере­ходы, для которых: 1) изменение орби­тального квантового числа l удовлетво­ряет условию

l=±1; (223.9)

2) изменение магнитного квантового чис­ла m_l удовлетворяет условию

m_l=0, ±1.

Переход электрона из основного со­стояния в возбужденное обусловлен увеличением энергии атома и может происхо­дить только при сообщении атому энергии извне, например за счет поглощения ато­мом фотона. Так как поглощающий атом находится обычно в основном состоянии, то спектр атома водорода должен состоять из линий, соответствующих переходам 1s np (n=2, 3, ...).