37. Сети: опр., пути в сетях, алгоритм Форда - Фалкерсона.

Опр1: Пусть задан ориен-ный граф G=(x,A) с вершинами . Каждой дуге поставлено в соответствие число , называемое пропускной способностью дуги. Такой граф будем называть сетью. Функцию , определённую на множестве дуг сети назовём потоком сети, если , , выполняется . множество дуг выходящих из вершины – множество дуг входящих в , .

Опр2: Назовём дугу насыщенной, если поток этой дуги равен её пропускной способности, т.е. .

Пути:Теорема 1. Пусть - путь . Если все дуги этого пути не насыщенные, то можно увеличить поток сети.

Рассмотрим

Теорема 2. Если , то увеличивается поток на каждой дуге, уменьшая на мы увеличиваем поток всей сети на .

Опр3: Цель для которой называется насыщенной.

Опр4: Поток в сети назовём полным, если любой путь, соединяющий исток со стоком (s с t) содержит по крайне мере 1 насыщенную дугу.

Теорема 3. В сети цепи от с , то поток нельзя больше увеличить, т.е. он максимальный.

Теорема 4.(Форда Фалкерсона) Для заданной сети макси максимальное значение потока равно минимальной пропускной способности разреза.

Алгоритм Форда Фалкерсона поиска максимального потока в сети.

1)Строим произвольный поток (нулевой)

2)Ищем полный поток. Если поток не полный, то в сети путь, все дуги которого не насыщены. Увеличиваем поток через эти дуги до тех пор, пока не насытится, по крайней мере, 1 из дуг. Т.о., получаем новый поток . Если он не полный, то операцию повторяем.

3)Отыскание максимального потока.

а) Помечаем вершину S символом +.

б) Если вершина помечена, то символом + помечаем все вершины х, для которых пути не насыщены.

в) Если таким образом удалось пометить сток t, то цепь, идущая через помеченные вершины к t. Вычисляем и увеличиваем поток на . Процедура повторяется пока удаётся пометить сток t. Иначе идти к 4).

4) Конец алгоритма.

38.Фундаментальная система циклов графа.

Мультиграф — граф, где между двумя заданными вершинами может быть несколько дуг. Дуги, соединяющие одну и ту же пару вершин, принято называть параллельными. Мультиграф, у которого максимальное число параллельных дуг — s, называют s-графом.

Рассмотрим неориентированный мультиграф (s-граф) G, n — вершин, m — ребёр, p — связных компонент. ρ(G) = n−p - коцикломатическое число (число ребер в остовах всех p связных компонент графа). ν(G) = m − ρ(G) = m − n + p — цикломатическое число. Если граф отождествить с электрической цепью, то определенные числа приобретают физический смысл. ν(G) — наибольшее число независимых круговых токов в электрической цепи. ρ(G) — наибольшее число независимых разностей потенциалов в электрической цепи.

Далее в этом разделе разговор будет вестись о неориентированных графах. Напомним, что циклом в неориентированном графе называется цепь, у которой совпадают начало и конец. Цикл будем называть простым, если в нем нет одинаковых вершин (кроме первой и последней). Такие циклы можно представлять как множества ребёр. Рассмотрим операцию ⊕ сложения по модулю 2 или симметрической разности над множествами ребёр:

Рассмотрим ряд вспомогательных фактов:

M называется линейной комбинацией {Mi}, если . Т.о. множество подмножеств ребёр графа оказывается линейным пространством над полем {0, 1}.

Множество циклов {Zi} называется независимым, если ∀i Zi не является линейной комбинацией остальных.

Максимальное независимое множество циклов (или минимальное множество циклов, от которых зависят все остальные) называется фундаментальной системой циклов.

Матрицей фундаментальных циклов графа G называется матрица Φ = [φij], состоящая из ν(G) строк и m столбцов, в которой равно 1, если ребро принадлежит циклу Φi, и равно 0 в противном случае. Предположим, что система фундаментальных циклов порождена некоторым остовом T графа G. Тогда, если ребра не принадлежащие дереву T, пронумеровать последовательно от 1 до ν(G), а ребра дерева T от ν(G) + 1 до m, то матрица циклов Φ будет иметь вид где I — единичная матрица.