33. Планарные графы

Опр: Граф наз-ся плоским, если его вершины – это точки, лежащие на плоскости и ребра графа – не пересек. на плоскости линии.

Опр: Планарным графом наз-м граф, который можно перестроить плоским.Если граф планарен, то он оказ-ся разделенным на части, включ. внеш. часть. Эти части – грани.

Опр: Грань планарного графа – это максимальный участок плоскости такой, что любые две точки могут быть соединены кривой, не пересекающей ребро графа.

Граф K3 имеет 2 грани, K4 - имеет 4 грани

Т-ма Эйлера:Если G - связный планарный граф, содержащий v (вершин), е (ребер), f (граней), то v-e+f = 2.

Док-во: Исп-м индукцию по числу ребер.

Если е = 0, то имеется 1 вершины и одна грань, поэтому верно

Если имеется е = 1, то v = 2, f = 1, и тоже верно

Предположим, что т-ма верна и для произвольном планарного связного графа у которого k ребер.

Пусть имеется Gk+1 с |k+1| - ребрами.

Удалим одно ребро и получим Gk с k ребрами и покажем, что для любого Gk+1 т-ма выполняется.

Пусть Gk+1 не имеет циклов, будем двигаться по пути до тех пор, пока не достигнем вершины из которой нет другого выходного ребра. Это воз-но в случае когда в Gk+1 нет циклов. Найденная вершина имеет степень 1, удалим вершину и ребро инцидентное ей, число граней не изменяется граф останется связным и планарным и будет содержать k ребер.

Если в Gk+1 есть циклы, удалим из цикла ei с инцидентными вершинами ui и vi, сами вершины оставим согласно теореме все еще имеется путь из ui в vi, так что граф остается связным и планарным. Он будет иметь *-ребер и след. Теорема вып-ся. Поскольку ei входит в цикл, оно разделяет две грани и значит при удалении этого ребра, удалится и грань, поэтому значение v-e+f=2 не измелось и ф-ла для Gk+1 справедлива.

Т-ма: Полный двудольный граф K33 не является планарным

Док-во: Используем метод приведения к абсурду

Предположим что K33 планарный. Если K33 планарный, то 6-9+f=2 f=5

Пусть А и В неперсек. мн-ва вершин, формир-е мн-во V- вершин графа V= АUВ, А ∩ В = пусто. Если начать путь из А и не повторять ребра, то можно попасть в вершину из В, затем в вершину из А прежде чем завершить цикл. Любой цикл в K33 представляет собой путь, длина которого по меньшей мере равна 4. Поэтому каждая грань определена циклом в котором не менее 4-х ребер, то сущ-т сумма всех ребер всех граней больше 4f, но каждое ребро считывается не более 2-х раз, поскольку оно явл. Границей не менее 4-х граней. Значит сумма ребер всех граней должна быть меньше 2e, т. об получим 4f меньше или равно 2е, т. е. f меньше или равно 4, 5 а это противоречие

Лемма: В произвольном связ. планарном G с количест. V больше или равно 3 имеет место нер-во:

3v - е больше или равно 6

Док-во: Если G не имеет циклов, то в нем ребер меньше чем вершин е <=v, учитывая что v>=3, 2v - 6 больше или равно 0 получим е <=v+ 2v - 6 или 3v - 6 или 3v-е>=6

Если G содержит цикл, то просуммируем ребра, огранич-е грани, поскольку граница каждой грани содержит не менее трех ребер, то сумма всех ребер, всех граней должна быть больше 3f и одновременно любое ребро может быть границей не более двух граней, кол-во ребер меньше 2е след-но 3f<=2е. Учитывая, что v - е +f = 2 получим

Т-ма: Граф К5 не является планарным.

Док-во: Граф К5 имеет пять вершин и 10 ребер след-но 3v - е = 5, а по пред. лемме этот граф не планарный

Критерий планарности

Подразбиением ребра uv наз-т его замену на два ребра uw и wv

Два графа гомиоморфны, если они могут быть получены из одного и того же графа подразбиением ребер. Гомиоморфные плоские графы имеют одинакое кол-во граней.

Теорема Понтрягина и Куратовского

Граф планарный тогда, когда он не содержит подграфа гомиоморфного К33 или К5

Алгоритм Гамма укладки графа на плоскость

Пусть построена некоторая укладка подграфа Н графа G сегментом S относительно Н будем называть подграф графа G одного из след. видов

а. ребро е = uv из Eg: е не принадлежит Еh и v принадлежит Еh;

б. связную компоненту графа G - Н, дополненную всеми ребрами G инцидентными вершинам взятой компоненты

вершину v сегмента S назовем контактной, если v принадлежит Vh

допустимой гранью для S относительно Н наз-ся грань Г графа Н, содержащая все контактные вершины сегмента S

Алгоритм:

1. выбрать простой цикл С графа G и уложить его на плоскости Н = С;

2. найти грани G и сегменты относительно Н, если мн-во сегментов пусто, то перейти к шагу 7;

3. для каждого сегмента S определить мн-во Гs. Если сущ-т сегмент S для которого Гs = пусто, то G не планарен и конец алгоритма, а иначе идти дальше

4. если сегмент S для которого имеется единств. допустимая грань Г, то перейти к шагу 6, а иначе к шагу 5

5. для некоторого сегмента S : Гs больше 1, выбрать произвольную допустимую грань Г.

6. поместить пр-ую α-цепь из S в грань Г. Заменить Н на Н U(объединение) αC и перейти к шагу 1

7. построена укладка графа G на плоскость

свойства планарных графов

1.максимальное число некратных ребер плоского графа 3n-6;

2.если число некратных ребер графа <= n+2, то граф заведомо плоский.

3.если число некратных ребер графа > 3n - 6, то граф не плоский;