30. Изоморфизм графов

Изоморфный – той же формы

Опр: Пусть граф G1(V1, E1) и G2(V2 E2). Биективное f: V1 -> V2 называется изоморфизмом G1 на G2 если любые u,v число ребер coeдиняющих вершины u и v в G1 = числу ребер соед. f(u) и f(v) в G2 . Для обычн. графов изом. – это биекция, харак-ся след. свойством: произв. вершины u и v смежны только тогда, когда вершины и смежны f(u) и f(v) в G2. если существует изоморфизм G1 на G2

Т-ма:Изоморфизм это отношение эквивалентности на множестве графов Док-во: Основано на том, что тождественное отображение биек., бие-ое обратимо, а обратные бие-ы. Композиция бие-ых отношений биек..

Т-ма. Графы изоморфны тогда и только тогда, когда их матрицы смежности получаются друг из друга одновременными перестановками строк и столбцов.

Док-во: Мультиграфы G и G’ изоморфны, когда их матрицы инцидентности получаются друг из друга путем перестановки строк и столбцов.

Принцип изоморфизма.

Чтобы показать, что два графа изоморфны, нужно найти изоморфизм одного графа в другой. Чтобы показать что графы не изоморфны, нужно найти свойства одного графа, не выполняющиеся в другом.

31. Метрические характеристики графов.

Пусть G(V,E) связный, не ориентированный а, в – вершины, не совпадающие. Длина кратчайшего пути (а,в) – маршрута – это расстояние между а и в. . Пусть меньше нуля, тогда введенное определение удовлетворяет аксиомам метрики: 1) 2) 3) 4)

Если v= {a1,a2 …an} , то матрица P=( ) = называется матрицей расстояний.

Для фиксированной вершины а назовем эксцентриситетом величину e(a)=max{ }.

Максимальный из эксцентриситетов называется диаметром графа d(G)=max {e(a)}.

Вершина а называется переферийной если е(а) = d(G).

Минимальный из эксцентриситетов называется радиусом r(G)=min {e(a)}.

Вершина центральная если e(a)=r(G).

Множество центральных вершин – это центр графа.

В полном графе Kn диаметр равен радиусу, и любая вершина является центральной и переферийной.

Т-ма: Для любого графа G справедливо:

Док-во: Первое нер-во следует из определения

r(G)=min {e(a)} max {e(a)}= d(G). Предположим d(u,v)= d(G), e(w)= r(G)

Тогда d(G ) согласно неравенству треугольника d(u,w)+d(w,v)=e(w)+e(w)=2r(G)

32. Деревья.

Граф, не содержащий цикла, называют ациклическим или лесом.

Дерево – это связный, ациклический граф, компоненты связности леса – деревья.

Т-ма1: Граф – это лес тогда, когда каждое ребро графа – мост.

Док-во:Если G – лес, то в нем нет циклов, следовательно ни одно ребро не входит в цикл, и тогда по лемме все ребра – мосты.

Т-ма 2:Дерево с n-вершинами содержит (n-1) ребер.

Док-во:Пусть G – дерево с n–вершинами, согласно предыдущей теореме- все ребра графа – мосты. Будем последовательно удалять ребра G, каждый раз увеличивая число компонент связности на одну. Имелась одна компонента связности, поскольку дерево – связный граф, после удаления всех ребер останется n–изоморфных вершин, следовательно n-компонент связности, таким образом в указанной процедуре удаления был (n-1) шаг, что и требовалось доказать.

След.1 Пусть в лесе n-вершинами, m-ребер и k-компонент связности, тогда m=n-k.

Док-во: Пусть в i-той компоненте связности леса -вершин и -ребер. Тогда , по теореме2 посчитаем общее число ребер леса. m= ∑(ni-1)=n-k.

След.2 Если в лесе число ребер на единицу меньше числа вершин, то этот лес – дерево.

Док-во: следует и сл. 1

Утвер.: Лес – дерево тогда, когда число его ребер на единицу меньше числа его вершин.

След.3 В дереве, которое содержит по меньшей мере 2 вершины, не менее двух висячих вершин (вершины степени 1 – листья)

Док-во:Пусть в дереве вершин, тогда оно содержит m=n-1 ребер, в лемме о рукопожатиях Будем считать, что вершины упорядочены по возрастанию степени покажем что: deg (v1)= deg (v2)=1. Если предположить противное, то получим противоречие deg (v1)>1, deg (v2)>=2

. За счет этого док-ся что есть 2 висяч. вершины минимум.

Т-ма 3: Пусть в связном графе число ребер на единицу меньше числа вершин, тогда этот граф дерево.

Док-во: Пусть в G имеется n-вершин, и m=n-1 ребер, по теореме в простом графе m>=n-k, где k-число компонент связности, для G k=1 и имеет место равенство m=n-1 след-но этот граф простой, т. к. в противном случае, удалив все петли и кратные ребра, мы уменьшили бы m не изменив при этом n и k, что привело бы к нарушению нер-ва.

Удаление каждого ребра G приведет к нарушению нер-ва m>=n-k, если при этом не изменится n и k, то по определению любое ребро G-мост и в силу этого G-ациклический граф, поскольку при этом, по условию G связный, то он дерево.

Т-ма 4: Граф – дерево тогда и только тогда, когда любые две вершины соединены одной цепью

Док-во: (необх.) Пусть G-дерево, значит это связный граф и любые 2 вершины связаны цепью, при этом двух различных цепей, соединяющих две вершины не может быть, т. к. вместе они дадут цикл, а в дереве циклов нет. (достат.) Если в графе 2 вершины связаны цепью, то граф - связный, и ациклический, от того что любые 2 вершины этого цикла были бы связаны по меньшей мере двумя простыми цепями, в случае наличия цикла.

Т-ма 5: Лес является деревом тогда, когда добавление любого ребра приводит к образованию ровно одного цикла.

Док-во: Пусть ациклич. граф связен, тогда по теореме 4, любые 2 вершины u и v связаны одной простой цепью, и добавление ребра uv приводит к образованию цикла, причем только одного, т. к. если бы их образовывалось хотя бы 2, то объединяя эти циклы, можно было бы получить один, не содержащий uv, а это противоречит ациклич. графа.

Если при добавлении uv обр-ся цикл, то удаляя из него uv получим цепь, связывающую u и v, а это значит u и v связанные, как и любые 2 другие вершины, т. е. граф связен и является деревом.

Т-ма Кэли: Число помеченных деревьев с n-вершинами равно n в степени n-2

Т-ма: У любого связного графа подграф, который явл. остовным деревом

Кодирование деревьев:

Код Прюфера – это сопоставленные дереву набор (a1,a2…a(n-2)), набор упорядоченный, n-кол-во вершин дерева.

Алгоритм кодирования1) i=0;2) Пусть vi- висячая вершина дерева с наименьшей меткой, тогда ai метка смежной с ней вершиной. 3) удалим vi и инцидентное ей ребро. 4) если в дереве осталось > 2-х вершин i++ и к шагу 2, иначе стоп.

Алгоритм декодирования

Пусть B’ - это мно-во {1,2….n}

bi наименьшее число из B’, не встречающееся в наборе (a1,a2…a(n-2)), тогда bi- это номер висячей вершины, смежной с a1 и дерево содержит ребро bia1, набор (a2…a(n-2)), кодирует дерево T1 с мн-вом пометок B1=B\{b1};

T1 - получается из исходного дерева T, удалением вершины b1 и инцидентного ребра b1a1. В качестве b2 возьмем наименьшее B1 не встречающееся в послед. (a2…a(n-2)), а дерево T1 и T должно содержать b2a2, теперь набор (a3…a(n-2)), описывает T2 с множеством пометок B2 = B1\{b2} и так далее

на k-м шаге процедуры рассматриваемое дерево T(k-1), мн-во пометок Bk-1 выбирается bk не входящее в набор (ak…a(n-2)),, после чего утверждается о наличие в дереве T ребра akbk, после n-2 шагов будут выявлены (n-2) ребра дерева T и мн-во Bn-2 будет содержать две пометки, для послед-но (n-1) ребра.

Остовные деревья

Стягивающим или остовным деревом связного графа G наз-ся произвольный его подграф, связывающий все вершины G и являющийся деревом. Остовным лесом графа G является произвольный его подграф, содержащий все его вершины и явл. лесом. Остовной лес – послед. удаляем ребра, входящие в циклы, до тех пор, пока не будет получен ацикл. Граф. Граф наз-ся взвешенным, если каждому его ребру поставлено в соответствие число – вес ребра. Вес графа – это сумма весов всех ребер

Сущ-т эффективные алгоритмы нахождения стягивающему дерева минимального веса.

Алгоритм Краскала 1.пусть n-мощность мн-ва ребер |E| следующий шаг выполнять (n-1) раз. 2.включить в T ребро G наименьшего веса, облад. тем св-м, что при добавлении его в T в этом графе не образуется цикл. Исключить из G данное ребро

(G-исходный, T-искомый)

Алгоритм Прима пусть V1 = {x1} - одна вершина, где x1 принадлежит V - принадлежит исходному G. Пусть E1 = пусто. След. Шаг выполнять для i=2…n. Получим дерево Si = (Vi,Ei) и с Si-1 добавлением ребра графа G наименьшего веса. Исключить данное ребро.

Бесконечным деревом назовем граф со счетным мн-вом вершин, удовлетворяющих условию: для любых 2-х вершин u, v графа сущ-т единственная uv цепь, причем длина цепи конечна.

Поиск в ширину выполняется в следующем порядке: началу обхода s приписывается метка 0, смежным с ней вершинам — метка 1. Затем поочередно рассматривается окружение всех вершин с метками 1, и каждой из входящих в эти окружения вершин приписываем метку 2 и т. д. Если исходный граф связный, то поиск в ширину пометит все его вершины. Дуги вида (i, i+1) порождают остовный бесконтурный орграф, содержащий в качестве своей части остовное ордерево, называемое поисковым деревом.

Поиск в глубину — один из методов обхода графа. Алгоритм поиска описывается следующим образом: для каждой непройденной вершины необходимо найти все непройденные смежные вершины и повторить поиск для них. Используется в качестве подпрограммы в алгоритмах поиска одно- и двусвязных компонент, топологической сортировки.