26.Определениее графа.Основ.Хар-ки.Виды графов

Граф-это мн-во точек, наз. вершинами и мн-во линий называемых ребрами, кот-ые соединяют пары вершин или вершину саму с собой.

Опр1: Ненаправленный граф G- это конечное мн-во V-вершин и конеч. мн-во E-ребер и фун-я такая что, для каждого ребра Е отбражение есть одно или 2хэлементнное подмн. мн-ва V.

Опр2: 1) Пара вершин v и w назыв. смежными если ребро e, соединяющее их. В этом случае также говорят,что вершины v и w инцидентны ребру e и наоборот. 2) Ребра наз-ся смеж-ми если имеют по крайней мере одну общ. вершину. 3) Валентностью или степенью вершины v, наз. deg(V) число ребер инцидентных вершине (V) (петля учитывается дважды) ) Граф, у которого кажд. вершина имеет одинак. валентность r наз-ся правильным или r-валентным графом.

Опр3: 1) Нулевым графом или полностью несвяз. графом наз-ся граф с пустым мн-вом ребер. 2) Полным графом наз. граф у которого каждая пара вершин (различ-х) связана ровно одним ребром, степень каждой вершины в графе , т.к. кажд. вершина связана с каждой из остальных (n-1) вершиной по средством одного ребра. Всего ребер в таком графе n(n-1)/2. 3) Двудольным графом наз-ся граф,у кот-го мн-во вершин имеет разбиение { }: каждое ребро связ. вершины с вершинами из . 4) Полный двудольный граф – это двуд. граф, у которого кажд. вершина из связана с кажд. вершиной из одним ребром.( | |=n, | |=m) 5) Простой граф-это граф, кот-ый не имеет петель или кратных ребер.

Опр4: Пусть G граф со мн-вом вершин { }. Мат. смежности наз-ся эл. кот-ой числа различ. ребер, соед. вершины Vi,Vj, степень вершины Vi=сумме всех эл-ов i-ой строки (или i-ого столбца).

Опр5: Граф H наз-ся подграфом гр. G, если , ,

Пути и циклы.

Опр: 1) Маршрутом в графе наз. послед. вершин и ребер. Маршрут . , -кольцевые вершины. 2) Цепь это маршрут без повторяющихся ребер. Цепь простая, если в ней нет повтор. вершин, кроме концевых. 3) Цикл-это замкнутая простая цепь.

Связность.

Опр: 2 вершины в графе связаны,если соедин. их простая цепь. Граф наз. связ., если пары различ. вершин соединяющий их путь. Отношение связности явл. эквивалентностью.

Классы эквивалентности по отношению к связности назыв. компонентами свяности графов K(G).

Граф явл. связ. тогда и только тогда,когда К(G)=1 и несвяз. K(G)˃1.

Граф имеющий n-вершин, m-ребер, k-компонент связ-ти обозн. (n,m,k)-граф.

Вершина графа наз.точкой сочленения, если ее удаление удваивает число K(G).

Разрезающим мн-вом ребер графа наз-ся мн-во ребер удаления кот-го из графа приводит к увеличению числа K(G).

Мин. по включению разрезающее мн-во ребер наз. разрезом.

Мост графа- ребро являющееся одноэлементным разрезом.

Лемма о рукопожатиях и ее следствие.

Теорема: Сумма степеней всех вершин графа равна удвоенному числу ребер.

Док-во: Каждое ребро дает вклад = 2 при подсчете суммы степеней всех вершин.

Следствие.

В любом графе число вершин нечетной степени четно.

27.Связязность.

Лемма1.

Если для некот. вершин в графе (U,V) (U,V)-маршрут, то и простая (U,V)-цепь.

Док-во: Рассм. в графе (U,V)-маршрут наим. длины. Покажем,что этот маршрут явл. простой цепью,если имеются в нем повтор-еся вершины w, то заменяя часть маршрута от первого вхождения w до второго вхождения на w мы получим более короткий маршрут. Делаем тоже самое пока не получим цепь.

Лемма2.

При удалении из графа моста число K(G) увелич-ся точно на 1.

Док-во: Пусть из графа удаляется мост е=UV,в графе G-e , вершины U,V нельзя соединить простой цепью, иначе сохр-ся отношение связ-ти и => число K(G), т.о. U и V лежат в разных комп-тах связ-ти графа G-e. Пусть х-произв.вершина гр-а G,для которой простая (х,V)-цепь, в силу леммы1 это те вершины, кот-ые лежат в той же компаненте связ-ти гр-аG,что и вершина V. Если в этой простой цепи не встреч-ся ребро е, то х и Vлежат в одной компоненте связ-ти граф. G-e. А если в этой цепи встреч-ся ребро е, то цепь имеет вид х→…→U V,поэтому вершина х и U лежат в одной компаненте связ-ти гр-аG-e, т.о. при удалении е из графа,точно одна компанента связ-ти гр-аG распадается на 2 компаненты связ-ти гр-а G-e.

Теорема.

Пусть G обыкновенный (n,m,k)-граф. Тогда выполн-ся: n-k≤m≤(n-k)(n-k+1)/2.

Док-во: Iчасть: Проверим верхнюю оценку. Пусть G*-обыкнов. Граф, имеющий n-вершин, k-компонет связ-ти и наиб. возможное число ребер-m*. Покажем, что m*=(n-k)(n-k+1)/2 .Каждая компонента связ-ти гр-а G* явл. полным графом,поэтому ,можно считать n1≥n2≥…≥nk. Убедимся,что n2=1. Предположим n2>1,пусть U-некоторая вершина гр-а Kn2,удалим n2-1 ребер инцидентных вершине U. Добавим затем n1 ребер,соединяющих U с кажд. вершиной Kn1,т.е. перенесем верш-у U из 2-ой компаненты связ-ти в 1-ую. Т.к. n1>(n2-1) мы получим граф,имеющий n вершин, k-компанент связ-ей и больше,чем m* ребер,а это противоречит выбору гр-а G*=>n2=1и тогда n3=…=nk=1. Т.о. все ребра гр-а G* содержатся в полном графе Kn1и n1=n-(k-1),поэтому по лемме о рукопожатиях m*=(n1-1)n1/2,если подставим n1=n-(k-1),то получим m*.

II Нижняя оценка. Проверим ниж. оценку. Применим индукцию к числу ребер,если m=0, то n=k. Пусть m>0 предположим,что для всех графов с числом ребер меньшим чем m, оценка имеет место.

Рассм. граф (n,m,k)-граф.Пусть G1=G-e,где е-некоторое ребро графа G,тогда G1будет (n,m-1,k1)-графом,где K1≤K+1 в силу леммы2.И тогда мы получим m-1≥n-k-1,т.е. m≥n-k ч.т.д.

Следствие1.

Пусть G-обыкнов.(n,m) граф,если m>(n-2)(n-1)/2,то граф G связен.

Док-во: Пусть K-число компанент связ-ти G,если K≥2,то m≤(n-2)(n-1)/2,что невозможно =>K=1,т.е. граф G связен.

Следствие2.

Если G-произв.(n,m,k)-граф,то m≥n-k.

Теорема о числе маршрутов длины k.

Пусть А-матрица инцидентности гр-а G(V,E), |V|=n,тогда ( )ij-есть число маршрутов длины k от Vi кVj.

Док-во: Использ. индукцию по k: для k=1 маршрут длины 1 явл. ребром гр-а G и результат теоремы вытекает из определения А. Пусть ( )ij=αij и пусть Аij=aij,тогда ( )ij=( ∙ A)ij= αiq∙ aqj. Пусть результат справедлив для k-1,тогда αiq- число маршрутов длины k-1 от Vi кVq и aqj-число маршрутов длины 1 от Vq кVj, т.о. αiq∙ aqj-это число марш-ов длины k от Vi к Vj,где Vq-предпоследняя верш. ч.т.д.

Следствие.

1)Маршрут от Vi к Vj(i≠j),в гр-фе G сущ-т тогда и только тогда,когда i и j эл-ты матр-ы порядка n n,(где n=|V|)≠0. А+ + +…+ ≠0- сама матрица.

2)Если не исп-ть i≠j, то требуемая матрица имеет вид А+ + +…+ + ≠0.

Вершинная связ-ть.

Вершинной связностью κ графа G называется наименьшее число вершин, которое нужно удалить, чтобы граф перестал быть связным. Для несвязного графа вершинная связность равна нулю. Для полносвязного графа вершинная связность полагается равной N-1 (поскольку, сколько вершин ни удалять из графа, - он всё равно не перестанет быть связным). Множ-во S вершин разделяет вершины A и B, если при удалении этих вершин из графа вершины A и B оказываются в разных компонентах связности.