Примеры:
В этом примере легче без применения правила найти предел, посмотрим
Т.е.
числитель поменялся местом со знаменателем,
но неопределенность сохранилась, и
если применить правило вторично, то
функция под знаком предела примет свой
первоначальный вид. Таким образом,
применение этого правила в данном случае
не позволяет раскрыть неопределенность.
В то же время легко установить, что
здесь
можно сделать ошибочный вывод, что
предел данной функции не существует,
т.к. не существует
.
На
самом деле
,
т.к.
,имеем
произведение ограниченной функции
и бесконечно малой функции
(при
).
Раскрытие неопределенностей различных видов
Правило
Лопиталя применяют для раскрытия
неопределенностей
,
,
которые называются основными.
Неопределенности вида
,
,
,
,
сводятся к двум основным видам путем
тождественных преобразований.
Пусть
при
тогда очевидны следующие преобразования
или
Пусть
при
тогда можно поступить так для нахождения
предела
при неопределенности
:
Пусть
при
(
)
при
(
)
при
(
)
Для
нахождения предела вида
удобно сначала прологарифмировать
выражение
,
получаем
;
Откуда
используя свойство непрерывных функций
получаем:
Решение можно оформить сразу, подставляя исходные данные в готовую формулу:
Исследование функций при помощи производных
П. ВОЗРАСТАЮЩАЯ, УБЫВАЮЩАЯ ФУНКЦИИ
1
ОПРЕДЕЛЕНИЕ:
Пусть дана функция
,
будем говорить, что
возрастающая
функция в точке
,
если при любом достаточно малом
,
выполняется условие
.
2
ОПРЕДЕЛЕНИЕ:
Пусть дана функция
,
будем говорить, что
убывающая
функция в точке
,
если при любом достаточно малом
,
выполняется условие
.
3
ОПРЕДЕЛЕНИЕ:
Функция называется возрастающей
в интервале
,
если для любых двух точек
и
из указанного интервала, удовлетворяющих
неравенству
,
выполняется неравенство
4
ОПРЕДЕЛЕНИЕ:
Функция называется убывающей
на интервале
,
если для любых двух точек
и
из указанного интервала, удовлетворяющих
неравенству
,
выполняется неравенство
.
ТЕОРЕМА: (НЕОБХОДИМОЕ УСЛОВИЕ ВОЗРАСТАНИЯ, УБЫВАНИЯ)
Если
дифференцируемая на интервале
функция возрастает (убывает), то
(
)
для любого
.
Геометрически
теорема означает, что касательные к
графику функции (которая возрастает) и
дифференцируема, образуют острые углы
с положительным направлением оси
или в некоторых точках параллельны оси
.Положительное
направление задается против часовой
стрелки от
ТЕОРЕМА: (ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЕ ВОЗРАСТАНИЯ, УБЫВАНИЯ)
Если
функция
дифференцируема на интервале
и
для
любого
,
то эта функция возрастает (убывает) на
интервале
.
Данные теоремы довольно просто позволяют исследовать функцию на монотонность.
Функция, возрастающая или убывающая, называются монотонными.
Пример:
Исследовать
функцию на монотонность
РЕШЕНИЕ:
функция определена на
.
,
когда
или
или
,
когда
или
,
т.е. для всех
ОТВЕТ: Функция возрастает когда
Функция убывает когда