Механический смысл производной второго порядка

Точка движется прямолинейно по закону .

Пусть в момент времени , точка имеет скорость

в момент , скорость равна ,

т.е. за промежуток скорость изменилась на величину

- это отношение выражает среднее ускорение движения точки за промежуток времени _.

Предел этого отношения при и называется ускорением в данный момент времени .

Дифференциал функции понятие дифференциала

Пусть функция имеет в точке отличную от нуля производную

Тогда по теореме о связи функции, ее предела и бесконечно малой функции

; откуда .

Таким образом, приращение функции представляет собой сумму двух слагаемых: и ,

каждое из которых является бесконечно малой функцией при .

При этом является бесконечно-малой одного порядка малости с , т.к.

Тогда как бесконечно малая более высокого порядка малости, чем , т.к.

Поэтому называют главной частью приращения функции .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Дифференциалом функции в точке называется главная часть ее приращения, которая равна произведению производной функции на приращение аргумента.

Обозначается

Дифференциал называется дифференциалом первого порядка.

Найдем дифференциал независимой переменной , т.е. дифференциал функции .

В данном случае , поэтому

С другой стороны: из следует, что , откуда имеем, что .

Т.е. дифференциал независимой переменной равен приращению этой переменной.

Поэтому формулу можем переписать:

или

Иными словами дифференциал функции равен произведению производной этой функции на дифференциал независимой переменной.

ПРИМЕР: Найти дифференциал функции:

1.

; откуда

2.

;

Откуда

Основные теоремы о дифференциалах

(ДИФФЕРЕНЦИАЛ СУММЫ, РАЗНОСТИ, ПРОИЗВЕДЕНИЯ, ЧАСТНОГО)

САМОСТОЯТЕЛЬНО!!!

Дифференциал сложной функции

ТЕОРЕМА: Дифференциал сложной функции равен произведению производной этой функции по промежуточному аргументу на дифференциал этого промежуточного аргумента.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:

Дана сложная функция , где и .

По теореме о дифференцирования сложной функции:

Умножим обе части этого равенства на , получим: , но и откуда получаем

СРАВНИМ ФОРМУЛЫ: и

Из которых видно, что первый дифференциал функции и , определяется одной и той же формулой, независимо является ли ее аргумент независимой переменной или является функцией другого аргумента.

Это свойство дифференциала называется инвариантностью (неизменностью) формы первого дифференциала.

ТАКИМ ОБРАЗОМ, ИМЕЕМ:

(1)

(2)

Эти обе формулы по внешнему виду похожи, но между ними есть принципиальное различие в первой - независимая переменная, во второй , поэтому вообще говоря .

ТАБЛИЦА ДИФФЕРЕНЦИАЛОВ САМОСТОЯТЕЛЬНО!!!

Правила Лопиталя

Рассмотрим способ раскрытия неопределенностей вида , который основан на применении производных.

Теорема: (Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей вида )

Пусть функции и непрерывны и дифференцируемы в окрестности точки и обращаются в нуль в этой точке: . Пусть в окрестности точки . Если существует предел , то

Коротко читают так: Предел отношения двух бесконечно малых функций равен пределу отношения их производных, если последний существует.

Замечания:

1. Теорема верна и в случае, когда функции и не определены при , но и . Достаточно положить и

2. Теорема справедлива и в том случае, когда . Действительно, положив , получим пользуясь правилом Лопиталя имеем окончательно .

3. Если производные и удовлетворяют тем же условиям, что и функции и . То теорему можно применять еще раз

.

Теорема: (Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей вида )

Предел отношения двух бесконечно больших функций равен пределу отношения их производных (конечному или бесконечному), если последний существует в указанном смысле.

;