0. Примеры для самоконтроля

Вычислить функцию от матрицы:

1. ³ A =

2. ² A =

3. A=

4. ² A =

5. ³ A =

6. A =

7. A =

8. A =

9. A =

10. A =

11. A =

12. A =

13. ² А =

14. ³ A =

15. A=

16. A=

17. A =

18. A =

19. A =

20. A =

21. A=

22. A =

23. A =

24. A =

25. A =

26. A =

27. A =

28. A =

29. A =

30. A =

5.Матричные уравнения

5.1. Вопросы по теории

1. Матричные уравнения и их применение

2. Перестановочные матрицы

3. Переходные матрицы

4. Решение уравнения AX=B

5. Решение уравнения AX=XB и AX=XA

6. Решение уравнения AX-XB=C

5.2. Примеры решения задач

1. Решим матричное уравнение A X = B

X= ,

где A — квадратная невырожденная ( det A ≠ 0 ) матрица порядка n , B — матрица размера n × m и X — неизвестная матрица.

Так как матрица A — невырожденная, то существует обратная матрица A^-1 . Умножим обе части уравнения слева (операция умножения матриц некоммутацивна) на матрицу A^-1 . Получим

(A^-1A)X=A^-1B

EX=A^-1B

X=A^-1B

Таким образом, искомое решение матричного уравнения определяется формулой

X=A^-1B

Обратите внимание на то, что количество строк матрицы B должно быть равно порядку матрицы A .

X= = .

2. Рассмотрим уравнение вида AX=XB

X=X (1)

Найдем жорданову форму матриц A и B.

= =

Найдем соответствующие матрицы перехода U и V методом Гаусса из уравнения AU=U и BV=V .

U = V=

A=U U^-1 B=V V^-1 Подставим данные равенства в уравнение (1)

U U^-1X=X V V^-1

Умножим слева на U^-1 и справа на V

U^-1XV=U^-1XV

Обозначим через = U^-1XV и сведем исходное уравнение к более простому

= . Методом Гаусса найдем .

=

X= U V^-1

6.Нормы матриц

6.1 Вопросы по теории:

1. Евклидова норма

2. Октаидрическая норма

3. Кубическая норма

4. Эквивалентность норм в конечномерном пространстве, теорема Люстерника

5. Спектральный радиус

6. Свойсива норм

7. Сингулярные числа

6.2 Примеры решения задач

Пусть дана матрица A= . Вычислим ее евклидову, октаидрическую и кубическую нормы:

_Е= =

= =21

_К= =15

2. Рассмотрим матрицу с комплексными элементами B= .

=

_E =

_O = 4+ +

_K = 9

Если требуется сохранить смысловые связи данных матрицы, то можно вычислять также такие нормы, как

₁= , ₌ и др.