21

Приложение комплексных чисел в науке

Ахтамов Антон Олегович, ученик 11 класса А

e-mail: ou9@wood.krasnet.ru тел.5-14-62

МОУ «СОШ №9 г. Лесосибирска»

662547, Г. Лесосибирск, 5а

Научный руководитель: Колотило Э.И.,

учитель математики высшей категории

В практике решения задач по физике и математике с помощью уравнений важное место занимают задачи, решаемые с помощью квадратных и кубических уравнений. Решая некоторые задачи из разделов динамики и механики, мы сталкиваемся с проблемой неудобства или невозможностью описания криволинейного движения тела, как на плоскости, так и в пространстве на поле действительных чисел. Помимо этого, решение многих задач из динамики и техники приводит к квадратным уравнениям с отрицательным дискриминантом и они имеют вид . Указанные уравнения не имеют решения на области действительных чисел, однако эти задачи имеют вполне определённый физический смысл. Под термином «комплексная величина» мы будем понимать всякую величину, которая может быть изображена геометрически вектором на плоскости. Учения о комплексных числах находят применение во многих вопросах науки и техники. Например, Н. Е. Жуковский (1847-1921), отец русской авиации, широко использовал комплексные числа при разработке теории крыла, автором которой он является.

В настоящие время комплексные числа широко используются для математического описания и решения многих вопросов физики и техники (в гидроаэродинамике, механике, электротехнике, атомной физике и др.)

Цель: изучить теорию комплексных чисел, свойства этих чисел и научиться применять их в решении прикладных задач по физике.

Объект исследования: комплексные числа.

Предмет исследования: приложение комплексных чисел в науке и технике, решение задач по физике.

Проблема: невозможность описания движения тела на поле действительных чисел

Гипотеза: комплексные числа - математическая модель для описания и изображения материальных точек в решении прикладных задач по физике.

Задачи исследования:

1) познакомиться с историей возникновения комплексного числа;

2) рассмотреть теоретические положения, связанные с понятием комплексного числа и его формой представления;

3) изучить арифметические операции над комплексными числами, а также формулы Муавра и Эйлера;

4) применить свойства комплексных чисел в решении задач динамики.

Методы исследования:

1. библиографический метод;

2. общенаучный метод (обобщение и систематизация научных положений);

3. метод моделирования и обоснования выводов;

4. метод классификации.

Экспериментальная работа

Теория комплексного числа находит широкое применение в области науки и техники. С помощью её можно решать многие физические задачи. В данной работе мы раскроем смысл комплексного числа, ознакомимся с его формами записи и изображения, арифметическими операциями, формулами и приложением комплексных чисел в науке и технике.

1. Комплексные числа

1. 1. История возникновения комплексного числа

В XVI веке в связи с изучением кубических уравнений оказалось необходимым извлекать квадратные корни из отрицательных чисел. В частности для решения кубических уравнений вида х ³+px+q=0 используются формулы, содержащие квадратные и кубические корни. Путь к этим корням ведет через невозможную операцию извлечения квадратного корня из отрицательного числа (см. приложение 1).

Итальянский алгебраист Дж. Кардано в 1545 г. предложил ввести числа новой природы. Он показал, что система уравнений не имеющая решений на множестве действительных чисел, имеет решения вида х=5± , нужно только условиться действовать над такими выражениями по правилам обычной алгебры и считать что = -а .

Кардано называл такие величины "чисто отрицательными" и даже "софистически отрицательными". В самом деле, с помощью таких чисел нельзя выразить ни результат измерения какой-нибудь величины, ни изменение какой-нибудь величины. Но уже в 1572 году вышла книга итальянского алгебраиста Р. Бомбелли, в которой были установлены первые правила арифметических операций над такими числами, вплоть до извлечения из них кубических корней. Название "мнимые числа" ввел в 1637 году французский математик и философ Р. Декарт, а в 1777 году один из крупнейших математиков XVIII века - Л. Эйлер предложил использовать первую букву французского слова imaginaire (мнимый) для обозначения числа (мнимой единицы). Этот символ вошёл во всеобщее употребление благодаря К. Гауссу. Термин "комплексные числа'' так же был введен Гауссом в 1831 году. Слово комплекс (от латинского complexus) означает связь, совокупность понятий, предметов, явлений и т. д., образующих единое целое (см. приложение 1).