Математическая основа карт

4.1. Земной эллипсоид

Известно, что Земля шарообразна, т.е. не обладает формой идеального шара. Фигура ее немного сплюснута у полюсов, имеет обширные, хотя и довольно пологие выпуклости и вогнутости (о горах речь не идет).

Сложную фигуру нашей планеты, ограниченную уровенной поверхностью океана (в состоянии покоя и равновесия), называют геоидом.

Наилучшее геометрическое приближение к реальной фигуре Земли дает эллипсоид вращения – геометрическое тело, которое образуется при вращении эллипса вокруг его малой оси. Сжатие эллипсоида моделирует сжатие планеты у полюсов. Земной эллипсоид – это та фигура, которую имела бы Земля, если бы cгладились небольшие неровности, превращающие ее в геоид.

Вычисление и уточнение размеров земного эллипсоида началось еще в XVIII в. и продолжается по сей день. В результате решения этой весьма непростой задачи получают референц-эллипсоид – это эллипсоид вращения, который наилучшим образом приближен к геоиду и относительно которого выполняются все геодезические вычисления

(определение широт, долгот, длин, площадей) и рассчитываются кар-

тографические проекции.Многие исследователи, пользуясь разными исходными данными и

методиками расчета, получают неодинаковые результаты. Поэтому исторически сложилось так, что в разные времена и в разных странах были приняты и законодательно закреплены различные эллипсоиды, и их параметры не совпадают между собой.

В России и странах СНГ принят референц-эллипсоид Ф.Н.Красовского, вычисленный в 1940 г. Его параметры таковы:

– большая полуось (а) – 6 378 245 м;

– малая полуось; (b) – 6 356 863 м;

– сжатие (а – b)/а – 1: 298,3.

Все карты крупных масштабов в России составляются на основе этого эллипсоида.

В США и Канаде до недавнего времени использовали эллипсоид Кларка, рассчитанный еще в 1866 г., его большая полуось на 39 м короче, чем в российском эллипсоиде, а сжатие определено в 1:295,0. Во многих странах Западной Европы и некоторых государствах Азии

принят эллипсоид Хейфорда, вычисленный в 1909 г.; в 1984 г. на основе спутниковых измерений вычислен международный эллипсоид WGS-84 (World Geodetic System).

Всего в мире насчитывается около 15 разных эллипсоидов. Карты, составленные на основе разных эллипсоидов, получаются в несколько различающихся координатных системах, что создает неудобства. Однако для принятия единого международного эллипсоида требуется

перевычислить координаты и пересоставить все карты, а это долгое, сложное и дорогостоящее дело.Несовпадения бывают заметны в основном на крупномасштабных

картах при определении точных координат. На средне- и мелкомасштабных картах они не очень ощутимы. Для мелкомасштабных карт иногда вместо эллипсоида берут шар со средним радиусом Земли – радиус шара, равного по объему эллипсоиду. В России он принят равным Rср = 6371,032 км.

4.2. Масштаб карты

Масштаб карты – это степень уменьшения объектов на карте относительно их размеров на земной поверхности (точнее, на поверхности эллипсоида).

Главный и частный масштабы. Строго говоря, масштаб постоянен только на планах, охватывающих небольшие участки территории. На географических картах он меняется от места к месту и даже в одной точке – по разным направлениям, что связано с переходом от сферической поверхности планеты к плоскому изображению. Поэтому различают главный и частный масштабы карт.

Главный масштаб показывает, во сколько раз линейные размеры на карте уменьшены по отношению к эллипсоиду или шару. Этот масштаб подписывают на карте, но справедлив он лишь для отдельных линий и точек, где искажения отсутствуют.

Частный масштаб отражает соотношения размеров объектов на карте и эллипсоиде (шаре) в данной точке. Он может быть больше или меньше главного. Частный масштаб длин M показывает отношение длины бесконечно малого отрезка на карте ds' к длине бесконечно малого отрезка ds на поверхности эллипсоида (шара), а частный масштаб площадей P передает аналогичные соотношения бесконечно малых площадей на карте dp′ и эллипсоиде (шаре) dp:

M= ds'/ ds , P= dp′/ dp.

Значения частных масштабов измеряют в процентах или долях от главного масштаба. В общем случае, чем мельче масштаб картографического изображения и чем обширнее территория, тем сильнее сказываются различия между главным и частным масштабами.

Виды масштабов на картах. Масштаб указывается на картах в разных вариантах.

Численный масштаб представляет собой дробь с единицей в числителе, он показывает, во сколько раз длины на карте меньше соответствующих длин на местности (например, 1:100 000).

Линейный (графический) масштаб дается на полях карты в виде линейки, разделенной на равные части (обычно сантиметры), с подписями, означающими соответствующие расстояния на местности. Он удобен для измерений по карте.

Именованный масштаб указывает в виде подписи, какое расстояние на местности соответствует одному сантиметру на карте (например, в 1 см – 1 км).

Предельная точность масштаба. Любой объект на бумажной карте можно изобразить и измерить с точностью не более 0,1 мм. Это предельная графическая точность, соответствующая минимально возможной толщине линии на карте. Величина 0,1 мм на плане в масштабе 1:1000 соответствует 10 см на местности, в масштабе 1:100 000

максимальная точность составляет всего лишь 10 м. Величина 0,1 мм (предельная графическая точность), выраженная в масштабе карты, называется предельной точностью масштаба.