Лекция 8

Основы аналитической механики

Вопросы лекции:

1. Принцип Даламбера.

2. Аналитическое выражение связей и их классификация.

3. Действительные и возможные перемещения.

4. Принцип возможных перемещений.

1. Принцип Даламбера.

Рассмотрим движение материальной точки массы m под действием активных сил и реакций отброшенных связей . Если движение происходит в инерциальной системе отсчёта, то справедлив основной закон динамики (второй закон Ньютона):

11\* MERGEFORMAT ()

Перепишем это выражение в виде

Величина имеет размерность силы

Поэтому можем ввести силу, обозначаемую через

22\* MERGEFORMAT ()

и называемую силой инерции. Знак «–» в формуле (2) означает, что направление силы инерции противоположно направлению вектора ускорения.

С учётом (2) равенство (1) можно записать как

33\* MERGEFORMAT ()

а, учитывая, что силы приложены к одной точке, и, следовательно, образуют систему сходящихся сил, получаем условие равновесия системы сил .

Отсюда получаем принцип Даламбера для материальной точки:

Если ко всем действующим на точку активным силам и реакциям отброшенных связей добавить силу инерции точки, то полученная система сил будет уравновешенной.

Равенство (3) – математическое выражение этого принципа.

Переходим к механической системе. Пусть k-тая точка системы под действием внешних , внутренних сил и реакций отброшенных связей движется с ускорением (силы на рисунке не показаны)

Тогда согласно основному закону динамики для каждой точки системы

Введём силу инерции k-той точки

44\* MERGEFORMAT ()

и запишем основной закон в виде

55\* MERGEFORMAT ()

Сложим все равенства (5) между собой:

66\* MERGEFORMAT ()

Затем каждое из равенств (5) векторно слева умножим на радиус-вектор k- той точки и полученные выражения сложим:

77\* MERGEFORMAT ()

В выражениях (6) и (7)

главный вектор и главный момент внешних сил;

главный вектор и главный момент внутренних сил, равные нулю;

главный вектор и главный момент реакций отброшенных связей;

главный вектор и главный момент сил инерции.

Следовательно, (6) и (7) можно записать в виде

88\* MERGEFORMAT ()

т.е. система сил с добавленными силами инерции точек будет уравновешена (главный вектор и главный момент равны нулю!). Отсюда получаем принцип Даламбера для механической системы:

Если ко всем внешним силам и реакциям связей добавить силы инерции точек системы, то полученная система сил будет уравновешенной.

Равенства (8) – математическая запись принципа Даламбера.

Главный вектор и главный момент сил инерции определяются в зависимости от вида движения механической системы. Имеем

99\* MERGEFORMAT ()

Главный момент сил инерции в общем случае определяется с помощью теоремы об изменении кинетического момента. В частных случаях, например, при вращении тела вокруг неподвижной оси z, являющейся главной осью инерции тела, будет

1010\* MERGEFORMAT ()

Аналогичная формула будет при плоском движении тела, но ось z должна быть центральной осью, перпендикулярной плоскости движения тела.

Рассмотрим пример применения принципа Даламбера.

Автомобиль массы m движется по горизонтальной дороге с ускорением a. Положение центра тяжести определено расстояниями и высотой h. Найти реакции передних и задних колёс автомобиля. Массу колёс не учитывать.

РЕШЕНИЕ. Автомобиль движется поступательно. Изображаем внешние силы: силу тяжести, реакции колёс и силы трения. Добавляем равнодействующую сил инерции и применяем принцип Даламбера. Полученная система сил уравновешена (согласно принципу Даламбера). Выбираем систему координат

и записываем условия равновесия:

1111\* MERGEFORMAT ()

1212\* MERGEFORMAT ()

1313\* MERGEFORMAT ()

Из условия (11) может быть найдена сила тяги двигателя, благодаря которой автомобиль движется с ускорением a.

Из (13) получаем

1414\* MERGEFORMAT ()

Подставив (14) в (12), найдём

1515\* MERGEFORMAT ()

Из равенств (14) и (15) видно, что при разгоне (а > 0) реакция переднего колеса меньше, а заднего – больше соответствующих статических значений. При торможении будет противоположная картина. С помощью (14) можно определить, с каким ускорением надо разгонять автомобиль, чтобы переднее колесо оторвалось от дороги. Условие отрыва . Тогда из (14) следует