Интеграл Коши.
Рассмотрим
некоторую функцию f(z),
голоморфную в односвязной области D.
На контуре L
функция не обязательно голоморфна, но
обязательно непрерывна. Она также
непрерывно продолжима на контур L
из любой внутренней точки области D.
Пусть
- некоторая внутренняя точка области
.
При
этом справедлива формула
- формула
Коши.
Доказательство:
Рассмотрим
функцию
- голоморфную в области D
за исключением точки
с координатой
,
где она не определена.
Окружим точку М(z) контуром Г. Тогда по теореме Коши для многосвязных областей получим
Т
ак
как функция
голоморфна повсюду, кроме точки z,
то контур Г – произвольный. Нужно лишь,
чтобы он охватывал точку M
и лежал внутри контура
.
В качестве Г возьмём окружность, радиус
которой стремится к нулю.
Введём локальную систему координат с центром в точке M. Пусть
.
Выполним предельный переход
27.Теорема о среднем для аналитических функций.
1. Значения
аналитической в некоторой области
функции полностью определяются её
значениями на границе этой области.
Этот факт можно сформулировать в виде
теоремы о среднем. Возьмём
такое, что окружность
радиуса
с центром в
лежит в D1.
Тогда
,
и
.
Поэтому справедлива
2. Теорема о среднем. Значение аналитической функции в каждой точке z0 равно среднему арифметическому её значений на любой окружности с центром в точке z0.
Теорема доказана
в предположении, что точка z0
лежит внутри контура L.
Если z0
находится вне контура, то
,
так как подынтегральная функция
аналитична в
.
3
.
Формула справедлива и для многосвязной
области, если под кривой L
подразумевать полную границу области.
В дальнейшем нам понадобится такой
вариант:
аналитична в замкнутом кольце, ограниченном
окружностями
и
.
Тогда для всех z,
лежащих внутри кольца,
;
при этом окружности проходятся так, что
область остаётся слева. В последней
формуле переобозначены переменные:
.
Принцип максимума модуля аналитической функции.
Теорема (принцип максимума модуля): пусть ф-ия f(z) голом-на в D и непрерывна вD. Тогда max|f(z)| достигается на D границе обл. D.
Док-во: D – компакт, f(z) непр. наD, max|f(z)| достигается.
1) f(z)const, D max|f(z)| достигается.
2) f(z) не const, по th (о постоянстве ф-ии, достигающей локального max во внутр. точке) max|f(z)| не может достигаться во внутр. обл. D, достигается на D.
Интеграл типа Коши
Интеграл типа Коши является обобщением интеграла Коши.
Н
а
дуге АВ
задана функция f(t),
не обязательно аналитическая,
удовлетворяющая дуге АВ
условию Гельдера:
где - некоторое положительное число. Построим аналитическую функцию
-
интеграл
типа Коши.
F(z)
является
аналитической во всей плоскости за
исключением контура L.
В бесконечно удалённой точке
Найдём
предельное значение функции F(z)
при
,
где t
– точка контура, не совпадающая с точками
А
и В.
Пусть слева от контура.
Первое слагаемое – сингулярный интеграл.
Получим
Аналогично находим
Объединяя полученные равенства, получим
-
формулы
Сохоцкого-Племеля.
Рассмотрим
частный случай: контур
замкнут, а функция
является граничным значением функции
,
то есть
.
В этом случае интеграл типа Коши переходит
в интеграл Коши. Кроме того, теперь если
точка
лежит вне контура
,
то, в соответствии с теоремой Коши
Следовательно,
.
Из формул Сохоцкого-Племеля следует
Полученное соотношение, справедливое для граничных значений аналитической функции, называется тождеством Племеля.
Рассмотрим задачу вычисления сингулярного интеграла
Рассмотрим первый интеграл:
Таким образом, первый интеграл не является несобственным.
-
точка
обходится слева. Окончательно получим
